Devoir Maison no Lentilles minces et miroirs sphériques Circuit RLC

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Niveau: Supérieur
Devoir Maison no 2 Lentilles minces et miroirs sphériques - Circuit RLC Problème 1 Amortissement et facteur de qualité d'un circuit RLC 1. D'après la loi des mailles : u+Ri+Ldidt = 0 et i = C du dt soit : d2u dt2 + R L du dt + 1 LCu = 0. En posant ?0 = 1√ LC et Q = 1R √ L C , on obtient : d2u dt2 + ?0 Q du dt + ? 2 0u = 0 . On obtient une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre d'équation caractéristique : r2 + ?0Q r + ? 2 0 = 0. Le discriminant ∆ de cette équation est égal à ∆ = 4?20( 1 4Q2 ? 1). – Si ∆ > 0 soit Q < 12 , le régime est apériodique. – Si ∆ = 0 soit Q = 12 , le régime est critique. – Si ∆ < 0 soit Q > 12 , le régime est pseudo-périodique. 2. 2.a. On suppose Q > 12 , le régime est donc pseudo-périodique. Les racines du polynome carac- téristique sont donc complexes conjuguées : r1,2 = ? ?0 2Q ± i?0 √ 1? 14Q2 . La forme de la solution s'écrit donc u(t) = e? ?0t 2Q (K1 cos(?t) +K2 sin(?t)).

formule de conjugaison

lentille mince de distance focale

lentille

ristique d'amortissement des oscillations libres

focale image

distance focale de la lentille

régime libre

bobine de l'ordre du mh

q2 ?

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o Devoir Maison n2 Lentilles minces et miroirs sphÉriques - Circuit RLC

ProblÈme 1Amortissement et facteur de qualitÉ d’un circuit RLC 2 di dud uR du1 1. D’aprÈsla loi des mailles :u+Ri+L= 0eti=Csoit :2+ +u= 0. En posantω0= dt dtdt Ldt LC q 2 1 1u ωL d0du2 √ etQ=, on obtient :2+ +ω u= 0. On obtient une Équation diﬀÉrentielle R Cdt Qdt0 LC 2ω02 linÉaire du second ordre sans second membre d’Équation caractÉristique :r+r+ω= 0. Le Q0 2 1 discriminantΔde cette Équation est Égal ÀΔ = 4ω(2−1). 0 4Q 1 – SiΔ>0soitQ <, le rÉgime est apÉriodique. 2 1 – SiΔ = 0soitQ=, le rÉgime est critique. 2 1 – SiΔ<0soitQ >, le rÉgime est pseudo-pÉriodique. 2 1 2. 2.a.On supposeQ >, le rÉgime est donc pseudo-pÉriodique. Les racines du polynome carac-2 q ω01 tÉristique sont donc complexes conjuguÉes :r1,2=− ±iω01−2. La forme de la 2Q4Q ω tq 0 − 1 2Q solution s’Écrit doncu(t) =e(K1cos(ωt) +K2sin(ωt)). avecω=ω01−2. 4Q K1etK2s’obtiennent À partir des conditions initiales : +− – Latension aux bornes d’un condensateur est continue doncu(t= 0) =u(t= 0) = u0=K1 − – At= 0, le circuit est ouvert, le courantiest donc nul et le courant dans une bobine +du du est continu donci(t) = 0= 0soit(t= 0) = 0puisquei=C. On obtient alors : dt dt ω0ω0u −K1+K2ω= 0soitK2=. 2Q2Qω ω t −ω0 0 2Q u(t) =u0e(cos(ωt) +sin(ωt)) 2Qω q 1 2.b. Lapseudo-pulsationωdes oscillations libres s’Écritω=ω01−2et le temps caractÉ-4Q 2Q ristique d’amortissement des oscillations libres s’Écritτ=. ω0 3. 3.a.Les dipÔlesR0,CetC0sont tous les trois trois en parallÈle et sont soumis À la diﬀÉrence de potentielu. On peut assacier les deux condensateurs en parallÈles en un condensateur ÉquivalentCeq=C+C0. Le montage est alors reprÉsentÉ sur la ﬁgure ci-dessous :

di En appliquant la loi des mailles, on obtient :L+Ri+u= 0eti=i1+i2aveci1= dt du u (C+C0)eti2=. En remplaÇantidans l’Équation des mailles et regroupant les termes dt R on obtient : 2 d uL duR L(C+C0) +( +RC+RC0(1 +) +)u= 0 2 dt R0dt R0 3.b. Pourobtenir la mme Équation diﬀÉrentielle qu’À la question 1, il faut queR0R,C0C L et queRC. En prenant des composants usuels (une rÉsistance de l’ordre dukΩ, R0 une bobine de l’ordre dumHet un condensateur de l’ordre de0,1µF, ces hypothÈses sont vÉriﬁÉes.

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