Wave extraction in numerical relativity [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Oliver Elbracht

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• Physik

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• Publié par: julius-maximilians-universitat_wurzburg
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 8
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 8 Mo

Extrait

Doctoral Dissertation
Wave Extraction in Numerical Relativity
Dissertation zur Erlangung des
naturwissenschaftlichen Doktorgrades
¨ ¨der Bayrischen Julius-Maximilians-Universitat Wurzburg
vorgelegt von
Oliver Elbracht
aus Warendorf
Institut fur¨ Theoretische Physik und Astrophysik
Fakultat¨ fur¨ Physik und Astronomie
Julius-Maximilians-Universitat¨ Wurzburg¨
Wurzbur¨ g, August 2009Eingereicht am: 27. August 2009
bei der Fakultat¨ fur¨ Physik und Astronomie
1. Gutachter: Prof. Dr. Karl Mannheim
2. Gutachter: Prof. Dr. Thomas Trefzger
3. Gutachter: -
der Dissertation.
1. Prufer¨ : Prof. Dr. Karl Mannheim
2. Prufer¨ : Prof. Dr. Thomas Trefzger
3. Prufer¨ : Prof. Dr. Thorsten Ohl
im Promotionskolloquium.
Tag des Promotionskolloquiums: 26. November 2009
Doktorurkunde ausgehandigt¨ am:Gewidmet meinen Eltern, Gertrud und Peter, fur¨ all ihre Liebe und
Unterstutzung.¨
To my parents Gertrud and Peter, for all their love, encouragement and
support.Wave Extraction in Numerical Relativity
Abstract This work focuses on a fundamental problem in modern numerical rela-
tivity: Extracting gravitational waves in a coordinate and gauge independent way to
nourish a unique and physically meaningful expression.
We adopt a new procedure to extract the physically relevant quantities from the
numerically evolved space-time. We introduce a general canonical form for the Weyl
scalars in terms of fundamental space-time invariants, and demonstrate how this ap-
proach supersedes the explicit definition of a particular null tetrad.
As a second objective, we further characterize a particular sub-class of tetrads in
the Newman-Penrose formalism: the transverse frames. We establish a new connection
between the two major frames for wave extraction: namely the Gram-Schmidt frame,
and the quasi-Kinnersley frame. Finally, we study how the expressions for the Weyl
scalars depend on the tetrad we choose, in a space-time containing distorted black
holes. We apply our newly developed method and demonstrate the advantage of our
approach, compared with methods commonly used in numerical relativity.
Abriss Diese Arbeit konzentriert sich auf eine fundamentale Problematik der nu-
merischen Relativitatstheorie:¨ Die Extraktion von Gravitationswellen in einer eich-
und koordinateninvarianten Formulierung, um ein physikalisch interpretierbares Ob-
jekt zu erhalten.
¨Es wird eine neue Methodik entwickelt, um die physikalisch relevanten Großen aus
einer numerisch erzeugten Raumzeit zu extrahieren. Wir prasentier¨ en eine allgemein-
gultige¨ kanonische Formulierung der Weyl Skalare im Newman-Penrose Formalismus
vals eine Funktion von fundamentalen Raumzeit-Invarianten. Dadurch zeigt sich, dass
mit Hilfe dieser Methodik die explizite Konstruktion eines Vierbeins vollstandig¨ re-
dundant ist.
Als weiteren Schwerpunkt charakterisieren wir innerhalb des Newman-Penrose
Formalismus eine spezielle Untergruppe von Tetraden, die transversen Frames. Es wird
eine bisher unbekannte Verbindung zwischen den primar¨ genutzen Vierbeinen fur¨
die Extraktion der Wellenform abgeleitet, dem Gram-Schmidt Vierbein und dem quasi-
Kinnersley Vierbein. Abschliessend studieren wir die Abhangigkeit¨ der Gravitations-
wellen eines gestorten¨ Schwarzen Loches vom verwendeten Vierbein. Wir berechnen
die Form der Gravitationswellen in dieser Raumzeit und demonstrieren inwieweit
unsere neue Methodik robustere und exaktere Ergebnisse liefert, als die gewohnlich¨
verwendeten Ansatze¨ zur Extraktion des Signals.
viWave Extraction in Numerical Relativity
Full list of publications by the author
This thesis is mainly based upon the following publications:
Nerozzi, Andrea; Elbracht, Oliver - Using curvature invariants for wave extrac-
tion in numerical relativity, accepted by Physical Review D (2009).
Elbracht, Oliver; Nerozzi, Andrea - Using curvature invariants for wave extrac-
tion in numerical relativity. II. Wave extraction in distorted black hole space-
times, submitted to Physical Review D.
Elbracht, Oliver; Nerozzi, Andrea - A new approach to wave extraction in nu-
merical relativity, submitted to Journal of Physics: Conference Series (refereed).
Other publications by the author:
Elbracht, Oliver; Nerozzi, Andrea; Matzner, Richard - Wave extraction in nu-
merical evolutions of distorted black holes, oclc/66137068 (2005).
Burkart, Thomas; Elbracht, Oliver; Spanier, Felix - Simulation results of our
newly developed PIC codes, AN, Vol.328, Issue 7 (unrefereed).
¨ Rodig, Constanze; Burkart, Thomas; Elbracht, Oliver; Spanier, Felix - Multi-
wavelength periodicity study of Markarian 501, Astronomy and Astrophysics, Vol-
ume 501, Issue 3, 2009, pp.925-932.
vii Burkart, Thomas; Elbracht, Oliver; Ganse, Urs; Spanier, Felix - The influence
of the mass-ratio on the acceleration of particles by lamentation instabilities,
submitted to The Astrophysical Journal.
The work has been supported through a research scholarship from the Elitenetz-
werk Bayern (Elite Network of Bavaria). The work contained in this thesis is in part
done within the International Research Training Group (GRK 1147/1) funded by the
Deutsche Forschungsgesellschaft (DFG).
Doctoral Dissertation
Author: Oliver Elbracht
email address: [e-mail]
viiiContents
1. Introduction 1
1.1. Notation and Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. The 3+1 Split and Initial Data 9
2.1. Initial Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. The 3+1 Decomposition - Separating Space from Time . . . . . . . . . . 12
2.3. The ADM Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. BSSN - An Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Gravitational Waves 21
3.1. The Linearized Theory of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. A Wave Solution and the Transverse-Traceless Gauge . . . . . . . . . . . 26
3.2.1. Interaction of Gravitational Waves with Test-Particles . . . . . . . 28
3.2.2. Polarization of a Plane Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Interaction of Gravitational Waves with Detectors . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. The Energy of Gra Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Gravitational Waves from Perturbed Black Holes . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.1. Perturbation Theory and Quasi-Normal Modes . . . . . . . . . . 38
3.5.2. The Regge-Wheeler and Zerilli Equation . . . . . . . . . . . . . . 40
4. The Newman-Penrose Formalism 47
4.1. Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.1. Directional Derivatives and Ricci Rotation Coefficients . . . . . . 50
4.1.2. The Commutation Relation and Structure Constants . . . . . . . 51
4.1.3. The Ricci Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ixContents
4.1.4. The Bianchi Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2. Null Tetrads and Null Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. Spin Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4. Weyl Tensor and Weyl Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5. Curvature Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6. Tetrad Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.1. Type I Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.2. Type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.3. Type III Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7. Petrov Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8. Physical Interpretation of the Weyl Scalars & Peeling-off Theorem . . . 65
4.8.1. Petrov Type N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8.2. Petrov Type III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8.3. Petrov Type D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8.4. Petrov Type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8.5. Petrov Type I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9. Goldberg-Sachs Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10. Bondi Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.11. Kinnersley Tetrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.12. Black Hole Space-Times in the NP Formalism . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.13. Perturbation Approach in the NP Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13.1. The Perturbation Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13.2. Teukolsky Master equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.13.3. Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.14. An Energy Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.15. Selecting the Proper Frame for Wave Extraction . . . . . . . . . . . . . . 79
4.15.1. Transverse Frames & Quasi-Kinnersley Frame . . . . . . . . . . . 80
4.15.2. Finding the Quasi-Kinnersley Frame