Analyse et équations aux dérivées partielles , livre ebook
448
pages
Français
Ebooks
2023
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Publié par
Date de parution
15 juin 2023
EAN13
9782759831401
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
3 Mo
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15 juin 2023
EAN13
9782759831401
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Français
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S A V O I RS
MATHÉMATIQUES
AC T U E L S
ANALYSE ET
ÉQUATIONS
AUX DÉRIVÉES
PARTIELLES
THOMAS ALAZARD
MATHÉMATIQUES
ANALYSE ET ÉQUATIONS
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
THOMAS ALAZARD
Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage
s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.
Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de
l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse
des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du
problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème
de propagation des singularités de Hörmander.
Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.
Thomas Alazardest directeur de recherche au CNRS et professeur associé
à l’ENS Paris-Saclay. Ses recherches portent sur l’analyse des équations aux
dérivées partielles.
www.cnrseditions.fr
Série Mathématiques dirigée par Claude SABBAH
SAVOIRS ACTUELS
Collection dirigée par Michèle LEDUC
C r é a t i o ng r a p h i q u e: Bé a t r i c eC o u ë d e l
9782759 831395
I S B NE D PS c i e n c e s9 7 8 - 2 - 7 5 9 8 - 3 1 3 9 - 5
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-14xxx-x
www.edpsciences.org
Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des
enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la
recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux
chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances
ainsi qu’àtout lecteur passionnépar lasciencecontemporaine.
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S A V O I R SA C T U E L S
EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS
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Imprimé en France.
© 20Řř, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS ÉD ITIO N S, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour
tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé
que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur
est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions
strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective,
et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information
de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de
la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de
l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille,
75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBNEDP Sciences 978-2-7598-řŗřş-ś(papier) – 978-2-7598-řŗŚŖ-ŗ(ebook)
ISBNCNRS Éditions 978-2-271-1ŚşŗŜ-ş(papier) – 978-2-271-1Śşŗŝ-Ŝ(ebook)
Pour Adèle et Charles
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii
Partie I.
Analyse fonctionnelle
1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Espaces de Banach.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. L’espace des fonctions continues.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . .
2.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Bases hilbertiennes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Théorème de Hahn-Banach.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
7
10
13
17
22
30
33
33
34
35
37
38
40
47
52
58
61
62
67
69
76
78
83
85
iv
TABLE DES MATIÈRES
Partie II.
Analyse harmonique
4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.1. Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . .99
4.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
4.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
4.6. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
5. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 111
5.1. Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
5.2. Classe de Schwartz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
5.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
5.5. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
6. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133
6.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
6.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . .144
6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
6.6. Inégalités de Sobolev.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . .151
6.8. Théorème taubérien de Wiener.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
6.9. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
7. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
7.1. Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson.. . . . . . . . . . . . . . . .167
7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . .170
7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
7.5. Injections de Sobolev.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . .186
7.7. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
8. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 193
8.1. Propriété de la moyenne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
8.2. Solution fondamentale du laplacien.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
8.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
8.4. Exercices.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
TABLE DES MATIÈRES
Partie III.
Analyse microlocale
v
9
