Problèmes d'analyse III - Intégration

Maria T. Nowak, Wieslawa J. Kaczor

Description

La meilleure façon d'apprendre la théorie de l'intégration et d'en voir les subtilités est de résoudre des exercices et des problèmes. Ce livre traite de l'intégration des fonctions réelles d'une variable réelle. Il s'adresse principalement aux étudiants des niveaux L3 et M1 des universités, mais les étudiants des niveaux L1, L2 et les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles trouveront dans le premier chapitre de nombreux exercices pour approfondir leur cours sur l'intégration. Ce livre sera aussi d'une grande utilité pour les candidats aux concours du CAPES et de l'agrégation de mathématiques.

Il contient plus de 500 problèmes portant sur les intégrales de Riemann et Riemann-Stieltjes et sur l'intégrale de Lebesgue. On y trouvera, en plus des exercices de calcul classiques, une section sur les inégalités liées à l'intégrale de Riemann, une autre sur la mesure de Jordan ou encore de nombreux problèmes sur les théorèmes de convergence et les théorèmes de permutation d'intégrales et de limites, de sommes ou de dérivées dans la théorie de Lebesgue. L'ouvrage se conclut par une large section sur les séries de Fourier. Tous les exercices sont corrigés.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 septembre 2008
• Nombre de lectures: 11
• EAN13: 9782759803224
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

PROBLÈMES D’ANALYSE II
Continuité et dérivabilité

Wieslawa J. Kaczor, Maria T. Nowak
Traduction : Eric Kouris

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

This work was originally published in Polish, asZadania z Analizy Matematycznej.Część
Druga Funkcje Jednej Zmiennej–Rachunek Różniczowy,c 1998Wydawnictwo
Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Published in English by the American
Mathematical Society under the title “Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and
Differentiation”, c2001 American Mathematical Society. The present translation was
created for EDP Sciences under authority of the American Mathematical Society and is
published by permission.

Imprimé en France

ISBN: 978-2-86883-0086-5
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous
pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des
pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une
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du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées
par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L.
122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent
être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie,
3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].

c2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Préface du traducteur

Préface à l’édition anglaise

Notations et terminologie

I

II

TABLE DES MATIÈRES

Limites et continuité
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1. . . . . . . . . . . .Limite d’une fonction
I.2Propriétés des fonctions continues. . . . .
I.3Propriété des valeurs intermédiaires. . . .
I.4. . . . . . . . . .Fonctions semi-continues
I.5Continuité uniforme. . . . . . . . . . . . .
I.6Équations fonctionnelles. . . . . . . . . .
I.7Fonctions continues sur un espace métrique
Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1. . . . . . . . . . . .Limite d’une fonction
I.2. . . . .Propriétés des fonctions continues
I.3Propriété des valeurs intermédiaires. . . .
I.4Fonctions semi-continues. . . . . . . . . .
I.5Continuité uniforme. . . . . . . . . . . . .
I.6. . . . . . . . . .Équations fonctionnelles
I.7Fonctions continues sur un espace métrique

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v

vii

ix

1
1
1
7
13
17
22
25
30
35
35
52
69
82
92
101
117

Dérivation129
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
II.1Dérivée d’une fonction réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
II.2. . . . . . . . . . . . . . . . 138Théorème des accroissements finis

Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité

iv

III

II.3. . . . . . . . . . . . 144Formule de Taylor et règle de L’Hospital
II.4Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
II.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Applications des dérivées
II.6. . . . . . 167Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz
Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
II.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Dérivée d’une fonction réelle
II.2. . . . . . . . . . . . . . . . 190Théorème des accroissements finis
II.3. . . . . . . . . . . . 201Formule de Taylor et règle de L’Hospital
II.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Fonctions convexes
II.5Applications des dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
II.6Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz. . . . . . 262

Suites et séries de fonctions269
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
III.19. . . . . . . . . . . . 26Suites de fonctions, convergence uniforme
III.2Séries de fonctions, convergence uniforme. . . . . . . . . . . . 275
III.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Séries entières
III.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Séries de Taylor
Solutions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
III.16. . . . . . . . . . . . 29Suites de fonctions, convergence uniforme
III.2Séries de fonctions, convergence uniforme. . . . . . . . . . . . 313
III.3Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
III.4Séries de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Bibliographie

Table des renvois

Index

369

371

375

PRÉFACE DU TRADUCTEUR

Ce livre est le second d’une série de trois recueils d’exercices corrigés traitant
des bases de l’analyse réelle. Il s’adresse d’abord aux étudiants, principalement
ceux des niveaux L1à L3, qu’ils soient à l’université ou en CPGE. Il intéressera
aussi les candidats aux concours du CAPES et de l’agrégation de mathématiques
qui y trouveront autant les théorèmes qu’ils doivent connaître que des exercices
pour les illustrer.
Ce second volume traite principalement des fonctions réelles d’une variable
réelle. Le premier chapitre traite en profondeur des fonctions continues (la
dernière section, sur les fonctions entre espaces métriques, intéressera plus
particulièrement les étudiants de L3et M1). Le second chapitre aborde les fonctions
dérivables (la dernière section traitant de généralisations de la notion de
dérivée, thème très rarement abordé dans les ouvrages s’adressant aux étudiants du
premier cycle universitaire) et le dernier chapitre se concentre sur les séries de
fonctions. Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices
relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des
théorèmes classiques. Souvent, différents aspects d’un même thème sont traités en
une série d’exercices successifs pour permettre d’en approfondir la compréhension.
Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux
étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile. Nous les invitons cependant
à chercher par eux-mêmes les exercices avant de regarder les solutions pour ne pas
se priver du plaisir de les résoudre. Nous insistons aussi sur le fait que les auteurs
ne donnent pas nécessairement toutes les étapes d’un calcul lorsqu’ils considèrent
que celui-ci ne pose pas de problèmes techniques. C’est bien sur aux étudiants de
prendre le temps de rédiger entièrement leurs solutions.
Nous avons ajouté dans cette traduction quelques notes pour préciser certaines
définitions et éviter ainsi d’avoir à chercher dans d’autres ouvrages. Nous avons
aussi ajouter en note les noms de certaines propriétés et relations pour inviter les
étudiants à engager des recherches par eux-mêmes. L’index à la fin de l’ouvrage

Problèmes d’Analyse II, Continuité et dérivabilité

vi

permet de facilement retrouver une définition et la table des renvois permet de
voir les liens entre les différents problèmes dans ce volume et dans les deux autres.
Je tiens à remercier Daniel Guin et Xavier Cottrell pour avoir pris le temps de
relire cette traduction et pour les remarques qu’ils m’ont faites afin d’améliorer
le style et de corriger les erreurs. Je reste responsable de celles qui subsisteraient.
Je souhaite aussi remercier pour sa disponibilité Patrick Fradin, l’auteur du
logiciel TeXgraph avec lequel toutes les figures de cet ouvrage et l’illustration de la
couverture ont été réalisées.

É. Kouris

PRÉFACE À L’ÉDITION ANGLAISE

Cet ouvrage est le second volume d’une série de recueils de problèmes
d’analyse. Il traite des fonctions réelles d’une variable réelle, à l’exception de la
section I.7 où sont abordées les fonctions définies sur un espace métrique. Comme
dans le premier volume,Problèmes d’Analyse I, Nombres réels, suites et séries,
chaque chapitre est divisé en deux parties. La première partie est composée
d’exercices et de problèmes, la seconde des solutions à ces problèmes. Bien que souvent
un problème donné admette plusieurs solutions, nous n’en présentons qu’une. De
plus, les problèmes sont divisés en sections suivant les méthodes utilisées pour
leur résolution. Par exemple, si un problème se trouve dans la sectionFonctions
convexes, cela signifie que l’on utilise des propriétés des fonctions convexes dans
la solution. Bien que chaque section commence par des exercices relativement
simples, on trouvera aussi des problèmes assez difficiles, dont certains sont, en
fait, des théorèmes.
Ce livre s’adresse principalement aux étudiants en mathématiques mais il
couvre des thèmes que les enseignants pourront inclure dans leurs cours ou utiliser
dans des séances de travaux dirigés. Par exemple, suivant Steven Roman [Amer.
Math. Monthly,87(1980), pp.805-809], nous présentons une démonstration de la
formule bien connue de Faà di Bruno donnant la dérivéen-ième de la composée de
deux fonctions. Les applications de cette formule aux fonctions analytiques réelles
données au chapitre III sont principalement tirées deA Primer of Real Analytic
Functionsde Steven G. Kranz et Harold R. Parks. En fait, nous avons trouvé cet
ouvrage si stimulant que nous n’avons pas résisté à y emprunter quelques
théorèmes. Nous souhaitons aussi mentionner ici une généralisation du théorème de
Tauber due à Hardy et Littlewood. La démonstration que nous en donnons est
basée sur la publication de Karamata [Math. Zeitsc