Thèmes pour l‘Agrégation de mathématiques

Jean-Étienne Rombaldi

Description

Cette deuxième édition des « Thèmes pour l’agrégation de mathématiques » est corrigée et augmentée de trois chapitres.

Les problèmes corrigés qui la composent, destinés aux candidats à l’Agrégation interne de mathématiques, seront également utiles aux étudiants de licence et maîtrise de mathématiques ainsi qu’aux candidats à l’Agrégation externe. Les enseignants y trouveront également une source d’inspiration. La préparation aux concours d’Agrégation (interne et externe) est essentiellement un travail de synthèse. C’est dans cette optique que l’ouvrage est agencé. Pour chacune des trois parties qui constituent ce volume :
— topologie de Mn (K) ;
— systèmes différentiels ;
— polynômes orthogonaux et séries de Fourier ;
le plan de travail est identique. Tout d’abord, dans un chapitre d’introduction, on rappelle les définitions essentielles et on annonce les thèmes abordés avec des applications. Le chapitre suivant regroupe, sous forme de problème, des résultats classiques et importants qui seront utilisés dans les problèmes qui suivent. Ce chapitre peut être utilisé pour réviser des notions de base. Les chapitres suivants sont consacrés à quelques thèmes qui font souvent l’objet de problèmes de concours. On trouvera également des problèmes posés au concours d’Agrégation qui illustrent certaines notions introduites dans les problèmes précédents.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Calcul
• Sciences et techniques
• Mathematics

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 05 septembre 2019
• Nombre de lectures: 12
• EAN13: 9782759823932
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

ENSEIGNEMENT SUP MATH Agrégation
ENSEIGNEMENT SUP MATH MasterAgrégation – Master
Jean-Étienne Rombaldi
9801
=
+∞ (4n)!1103+26390n
2 2Cette deuxième édition des « Thèmes pour 4 4n396n=0 9801n!l’agrégation de mathématiques » est corrigée =et augmentée de trois chapitres.
+∞Les problèmes corrigés qui la composent, destinés aux candidats (4n)!1103+26390n
à l’Agrégation interne de mathématiques, seront également utiles 2 2aux étudiants de licence et maîtrise de mathématiques ainsi
4 4nqu’aux candidats à l’Agrégation externe. Les enseignants y trouveront 396n=0également une source d’inspiration. n!La préparation aux concours d’Agrégation (interne et externe) est
essentiellement un travail de synthèse. C’est dans cette optique
que l’ouvrage est agencé.
Pour chacune des trois parties qui constituent ce volume :
— topologie de M (K) ;n
— systèmes différentiels ;
— polynômes orthogonaux et séries de Fourier ;
le plan de travail est identique. Tout d’abord, dans un chapitre d’introduction,
on rappelle les définitions essentielles et on annonce les thèmes abordés
avec des applications. Le chapitre suivant regroupe, sous forme Jean-Étienne Rombaldi
de problème, des résultats classiques et importants qui seront utilisés
dans les problèmes qui suivent. Ce chapitre peut être utilisé pour réviser
des notions de base. Les chapitres suivants sont consacrés à quelques
thèmes qui font souvent l’objet de problèmes de concours. On trouvera
également des problèmes posés au concours d’Agrégation qui illustrent THÈMES POUR
certaines notions introduites dans les problèmes précédents.
Jean-Étienne Rombaldi est professeur agrégé de mathématiques,
son dernier poste étant à l’institut Fourier de Grenoble (université Grenoble- L’AGRÉGATION DE
Alpes). Il a longtemps été préparateur, à l’université et pour le compte
du CNED, à l’agrégation interne et externe de mathématiques.
MATHÉMATIQUES
e21 e 2 édition
ISBN : 978-2-7598-2340-6
9 782759 823406 www.edpsciences.org
9782759823390_MathSup.indd 1 10/07/2019 14:29
THÈMES POUR L’AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUESENSEIGNEMENT SUP MATH Agrégation
ENSEIGNEMENT SUP MATH MasterAgrégation – Master
Jean-Étienne Rombaldi
9801
=
+∞ (4n)!1103+26390n
2 2Cette deuxième édition des « Thèmes pour 4 4n396n=0 9801n!l’agrégation de mathématiques » est corrigée =et augmentée de trois chapitres.
+∞Les problèmes corrigés qui la composent, destinés aux candidats (4n)!1103+26390n
à l’Agrégation interne de mathématiques, seront également utiles 2 2aux étudiants de licence et maîtrise de mathématiques ainsi
4 4nqu’aux candidats à l’Agrégation externe. Les enseignants y trouveront 396n=0également une source d’inspiration. n!La préparation aux concours d’Agrégation (interne et externe) est
essentiellement un travail de synthèse. C’est dans cette optique
que l’ouvrage est agencé.
Pour chacune des trois parties qui constituent ce volume :
— topologie de M (K) ;n
— systèmes différentiels ;
— polynômes orthogonaux et séries de Fourier ;
le plan de travail est identique. Tout d’abord, dans un chapitre d’introduction,
on rappelle les définitions essentielles et on annonce les thèmes abordés
avec des applications. Le chapitre suivant regroupe, sous forme Jean-Étienne Rombaldi
de problème, des résultats classiques et importants qui seront utilisés
dans les problèmes qui suivent. Ce chapitre peut être utilisé pour réviser
des notions de base. Les chapitres suivants sont consacrés à quelques
thèmes qui font souvent l’objet de problèmes de concours. On trouvera
également des problèmes posés au concours d’Agrégation qui illustrent THÈMES POUR
certaines notions introduites dans les problèmes précédents.
Jean-Étienne Rombaldi est professeur agrégé de mathématiques,
son dernier poste étant à l’institut Fourier de Grenoble (université Grenoble- L’AGRÉGATION DE
Alpes). Il a longtemps été préparateur, à l’université et pour le compte
du CNED, à l’agrégation interne et externe de mathématiques.
MATHÉMATIQUES
e2 édition
ISBN : 978-2-7598-2340-6
9 782759 823406 www.edpsciences.org
9782759823390_MathSup.indd 1 10/07/2019 14:29
THÈMES POUR L’AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUESJean‐Étienne ROMBALDI
Thèmes pour lʹagrégation
de mathématiques
e2 éditionDans la même collection
eÉléments d’analyse réelle, 2 édition
Jean‐Étienne Rombaldi
2019, ISBN : 978‐2‐7598‐2339‐0
Imprimé en France
ISBN (papier) : 978‐2‐7598‐2340‐6 ‐ ISBN (ebook) : 978‐2‐7598‐2393‐2
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l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part,
que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute
représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses
erayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1 de l’article 40). Cete représentation
ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon
sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.
© EDP Sciences, 2019Table des matières
Avant-propos v
I Topologie de M (K) pour K = R ou K = C 1n
1 Introduction 3
1.1 Notations et définitions ........................ 3
1.2 Thèmes abordés dans cette partie................... 4
2 Résultats préliminaires 7
3 Normes sur M (K) 19n
4 Densité de GL (K) dans M (K). Applications 29n n
5 Connexité 35
6 Densité de l’ensemble des matrices diagonalisables dans M (C) 41n
7 Agrégation interne 1997, épreuve 1 47
8 interne 1995, épreuve 1 63
II Systèmes différentiels 85
9 Introduction 87
9.1 Notations et définitions ........................ 87
9.2 Thèmes abordés dans cette partie................... 87
10 Résultats préliminaires 91
11 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 103
12 différentiels linéaires à coefficients non constants 119
13 Agrégation interne 1991, épreuve 2 127iv
14 Agrégation interne 2011, épreuve 2 141
III Polynômes orthogonaux et séries de Fourier 159
15 Introduction 161
15.1 Notations et définitions ........................ 161
15.2 Thèmes abordés dans cette partie................... 162
16 Résultats préliminaires 165
17 Polynômes orthogonaux 177
18 P de Legendre 187
19 Problème de Sturm-Liouville 199
20 de et opérateur intégral de Fredholm 211
21 Fonctions d’Hermite et transformation de Fourier 225
Index 257Avant-propos
Ce recueil de problèmes corrigés destiné aux candidats à l’Agrégation interne
et externe de Mathématiques sera également utile aux étudiants de licence et
maîtrise de Mathématiques. Les enseignants y trouveront également une source
d’inspiration.
La préparation aux concours d’Agrégation est essentiellement un travail de
synthèse. C’est dans cette optique que l’ouvrage est agencé. Pour chacune des
trois parties qui constituent ce volume, le plan de travail est identique.
Tout d’abord dans un chapitre d’introduction on rappelle les définitions
essentielles et on annonce les thèmes abordés avec des applications. Dans une leçon
d’oral le candidat ne peut pas se contenter d’énoncer seulement un théorème, il
doit avoir réfléchi sur la nécessité des hypothèses et sur les applications. Ce chapitre
sera, je l’espère, une aide à la conception d’un plan de leçon d’oral.
Le chapitre suivant regroupe sous forme de problème des résultats classiques
et importants qui seront utilisés dans les problèmes qui suivent. Ce chapitre peut
être utilisé pour réviser des notions de base.
Les chapitre suivants sont consacrés à quelques thèmes qui font souvent l’objet
de problèmes de concours. On trouvera également des problèmes posés au concours
d’Agrégation interne qui illustrent certaines notions introduites dans les problèmes
précédents. Une façon efficace d’exploiter ces problèmes consiste évidemment à les
rechercher et les rédiger de façon détaillée, puis à confronter les résultats aux
solutions proposées.
La première partie est consacrée à l’étude de certaines propriétés algébriques et
topologiques de l’algèbre des matrices carrées réelles ou complexes. Il peut servir
à illustrer des leçons d’algèbre linéaire (utilisation de la réduction des
endomorphismes) et de topologie (espaces vectoriels normés de dimension finie, problèmes
de densité et de connexité). Elle se termine par deux épreuves d’agrégation interne.
La deuxième partie est consacrée à l’étude des systèmes différentiels linéaires
à coefficients constants ou non. Cette partie est une application importante à
l’analyse de l’étude des sous espaces caractéristiques et de la réduction des
endomorphismes. Cette partie se termine aussi par deux épreuves d’agrégation interne.
La troisième partie est consacrée à l’étude des polynômes orthogonaux. On y
étudie tout d’abord les propriétés des espaces préhilbertiens (orthogonalisation
de Gram-Schmidt, théorème de projection orthogonale, familles orthonormales
totales et maximales). On s’intéresse ensuite aux polynômes orthogonaux avec des
applications au calcul numérique de certaines intégrales (formules de quadrature
de Gauss) et à la décomposition en séries de Fourier. On y étudie également lesvi Avant-propos
problèmes de Sturm-Liouville (opérateur de Fredholm et propriétés de
compacité). Cette partie se termine par un problème inspiré d’une épreuve d’agrégation
externe.
Je tiens enfin à remercier EDP Sciences pour la confiance qu’ils m’accordent en
publiant une deuxième édition de ce travail.Première partie
Topologie de M (K) pourn
K = R ou K = C

Chapitre 1
Introduction
1.1 Notations et définitions
K désigne le corps des réels ou des complexes.
Pour tout entiern> 0, on note M (K) l’espace vectoriel des matrices à coeffi-n
cients dans K à n lignes et n colonnes, GL (K) le groupe multiplicatif des matricesn
d’ordre n inversibles et pour K = R :
+GL (R)= {A ∈ GL (R) | det(A) > 0}nn
−GL (R)= {A ∈ GL (R) | det(A) < 0}nn
Pour tous i,j compris entre 1 et n, on note E