Variétés différentielles, physique et invariants topologiques

Franck Jedrzejewski

Description

La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.

Introduction 7

1 Variétés topologiques 13

1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13

1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16

1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17

1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23

1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33

2 Groupe fondamental 39

2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41

2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45

2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50

2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54

2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56

2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58

3 Catégories et foncteurs 61

3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61

3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63

3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66

3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67

3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71

3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72

3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73

3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74

3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75

3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78

3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79

3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81

4 Variétés différentiables 85

4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85

4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90

4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92

4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93

4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95

4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96

4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97

4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101

4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103

4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105

4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106

5 Espaces fibrés 109

5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109

5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113

5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116

5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116

5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117

5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118

5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121

5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124

5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128

5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129

5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130

6 Algèbre tensorielle et extérieure 135

6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135

6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137

6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140

6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141

6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142

6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144

6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146

6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147

6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150

6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152

7 Formes différentielles 157

7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157

7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160

7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161

7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162

7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163

7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164

7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166

7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168

7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171

8 Géométrie riemannienne 175

8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175

8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180

8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185

8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186

8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188

8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193

8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194

8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198

8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203

8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207

9 Algèbre homologique 211

9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211

9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216

9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221

9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227

9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229

9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231

9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234

9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238

10 Variétés complexes 247

10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247

10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251

10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252

10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255

10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263

10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268

11 Connexions sur les fibrés 271

11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271

11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273

11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274

11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276

11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277

11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280

11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283

12 Théorie de l’indice 287

12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287

12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290

12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301

12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303

12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311

13 Systèmes hamiltoniens 315

13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315

13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320

13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323

13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328

13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333

13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336

13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341

13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343

13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345

14 Relativité générale 349

14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350

14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351

14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355

14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356

14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357

14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359

14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361

Bibliographie 365

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Algèbre
• Algèbre
• Géométrie riemannienne
• Mathematics
• Algebra
• mathématiques
• Sciences et techniques
• Mathématiques pures
• Mathématiques fondamentales

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 08 juin 2023
• Nombre de lectures: 8
• EAN13: 9782759831432
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

PROfil
Variétés différentielles,
physique et invariants
topologiques
Franck Jedrzejewski
9782759831425-COUV_Var_Diff.indd 1 12/04/2023 10:37PROfil
Variétés différentielles, physique
et invariants topologiques
Franck Jedrzejewski
L a géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans
de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la
matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation
des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes :
la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts
de la géométrie riemannienne.
Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des
variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant
volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et
introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice,
qui ont été au cœur des résultats les plus récents.
Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en
master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité,
ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique
contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur
le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est
au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.
Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA. Il
enseigne à l’INSTN et à l’université de Paris-Saclay. Il est l’auteur d’une vingtaine
d’ouvrages, dont les Mathématiques pour l’imagerie médicale.
Les ouvrages de la collection PROfil ont 978-2-7598-3142-5
pour vocation la transmission des savoirs
professionnels dans différentes disciplines. Ils
sont rédigés par des experts reconnus dans
leurs domaines et contribuent à la formation
9 782759 831425 www.edpsciences.org et l’information des professionnels.
9782759831425-COUV_Var_Diff.indd 1 12/04/2023 10:37Variétés différentielles,
Physique et invariants
topologiques
Franck Jedrzejewski
Imprimé en France

ISBN (papier) : 978-2-7598-3142-5 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-3143-2

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous
pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part,
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d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le
er de consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1
l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait
donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.

© EDP Sciences, 2023 Sommaire
Introduction 7
1 Variétés topologiques 13
1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Classifcation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Groupe fondamental 39
2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3es libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 50
2.6etal d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Catégories et foncteurs 61
3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Sommaire
3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8 F représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Variétés diférentiables 85
4.1 Calcul diférentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 85
4.2 Variétés diférentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Applications diférentiables entre variétés . . . . . . . . . 92
4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 101
4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Espaces fbrés 109
5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.6 Classifcation des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.9 en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Algèbre tensorielle et extérieure 135
6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 135
6.2 Produit d’applications linéaires . . . . . . . . . 137
6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Sommaire 5
6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 146
6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 150
6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Formes diférentielles 157
7.1 Formes diférentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Algèbre des formes diférentielles . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4 Diférentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.6 Intégration des formes diférentielles . . . . . . . . . . . . 164
7.7 Formes exactes, fermées . . . . . . . . . . . . . . 166
7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8 Géométrie riemannienne 175
8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9 Algèbre homologique 211
9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3 singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.5 à coefcients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10 Variétés complexes 247
10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526 Sommaire
10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
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