Mathématiques pour l’imagerie médicale , livre ebook
240
pages
Français
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2021
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Ebook
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Publié par
Date de parution
14 janvier 2021
Nombre de lectures
6
EAN13
9782759824960
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
4 Mo
Depuis une vingtaine d’années, l’imagerie médicale a fait des progrès considérables. Que ce soit dans le domaine de l’échographie, de la tomographie ou de la résonance magnétique nucléaire, les images de nos propres corps sont d’une précision sans cesse renouvelée. Les appareils sont de plus en plus performants et les algorithmes de reconstitution d’images permettent un traitement et une mise en couleurs qui sont une aide précieuse pour le diagnostic médical.
Partant de connaissances élémentaires, cet ouvrage propose un cours approfondi des outils mathématiques nécessaires à l’élaboration des images médicales. Il traite à la fois de la reconstruction de ces images par des techniques déterministes ou bayésiennes, mais aussi de la mise en oeuvre de simulations pour la radiothérapie.
Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou de physiciens des hôpitaux. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’aux étudiants des classes préparatoires intéressés par l’imagerie. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au coeur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.
Introduction
1 L’imagerie médicale
1.1 Les techniques d’imagerie
1.2 Quelques repères historiques
1.3 La tomodensitométrie (CT)
1.4 La tomographie par émission monophotonique (SPECT)
1.5 La tomographie par émission de positons (PET)
1.6 L’imagerie par résonance magnétique (IRM)
1.7 Les radiopharmaceutiques
1.8 Les principes physiques de la tomographie
1.9 L’échelle de Hounsfield
1.10 Les algorithmes de reconstruction
2 La transformée de Radon 25
2.1 La transformée de Fourier
2.2 La transformée de Radon
2.3 Propriétés de la transformée de Radon
2.4 Transformée de Radon d’une ellipse
2.5 Relation avec la transformée de Fourier
2.6 Inversion de la transformée de Radon
2.7 Transformée de Radon sur R3
2.8 Exemples de calcul de transformée de Radon
3 Reconstruction analytique 43
3.1 Projections et sinogrammes
3.2 Théorème de la coupe centrale
3.3 Rétroprojection
3.4 Rétroprojection filtrée
3.5 Filtrage
4 La transformée de Radon sur Rn 49
4.1 Intégration sur Rn
4.2 Propriétés de la transformée de Radon
4.3 Relation avec la transformée de Fourier
4.4 Potentiels de Riesz
4.5 Inversion de la transformée de Radon
4.5.1 Cas des dimensions impaires
4.5.2 Cas des dimensions paires
4.6 Harmoniques sphériques
5 Reconstruction discrète 69
5.1 Interpolation
5.1.1 L’interpolation de Lagrange
5.1.2 L’interpolation d’Hermite
5.1.3 L’interpolation de Tchebychev
5.1.4 Les courbes de Bézier
5.1.5 Les splines cubiques
5.2 Régression linéaire
5.3 Échantillonnage et théorème de Nyquist
5.4 Reconstruction discrète
5.4.1 Reconstruction par rétroprojection filtrée
5.4.2 Reconstruction par transformée de Fourier rapide
6 Méthodes numériques matricielles
6.1 Méthode de Kaczmarz
6.2 Conditionnement d’une matrice
6.2.1 Propriétés du conditionnement
6.2.2 Estimation du conditionnement
6.3 Méthodes directes
6.3.1 Méthode de Cholesky
6.3.2 Factorisation LU
6.3.3 Factorisation QR et méthode de Householder
6.4 Méthodes itératives
6.4.1 Méthode de Jacobi
6.4.2 Méthodes de relaxation
6.5 Méthodes projectives
6.5.1 Méthode d’Arnoldi
6.5.2 Méthode GMRES (Generalized Minimum Residual Method)
6.5.3 Méthode FOM (Full Orthogonal Method)
6.5.4 Méthode du gradient conjugué
6.5.5 Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés
7 Problèmes inverses
7.1 Problèmes directs, problèmes inverses
7.2 Exemples de problèmes inverses
7.3 Problèmes mal posés
7.4 Problèmes inverses mal posés
7.5 L’électro-encéphalographie
7.6 L’échographie
8 Régularisation et méthodes itératives algébriques
8.1 Équation normale
8.2 Régularisation de Tikhonov
8.3 Décomposition en valeurs singulières
8.4 Méthode de troncature spectrale
8.5 Critère de Morozov
8.6 Méthode itérative de Landweber
9 Probabilités
9.1 Lois de probabilités
9.1.1 Lois discrètes
9.1.2 Lois continues
9.2 Modes de convergence des lois
9.3 Estimateurs
9.4 Lois conditionnelles
9.5 Régression multilinéaire
9.6 Vecteurs gaussiens .
9.7 Tirages d’échantillons aléatoires
9.7.1 Méthode des congruences
9.7.2 Méthode de la transformée inverse .
9.7.3 Méthode de Box-Muller
9.7.4 Méthode du rejet de von Neumann
9.7.5 Méthode de Cheng pour une loi gamma
9.8 Intégration par Monte-Carlo
9.8.1 Échantillonnage simple
9.8.2 Réduction de variance .
9.8.3 Échantillonnage suivant l’importance
9.9 Processus de Markov
9.9.1 Mouvement brownien
9.9.2 Chaînes de Markov
9.10 Algorithme de Metropolis-Hastings
9.11 Modèle d’Ising
10 Méthodes itératives statistiques
10.1 Méthode des moments
10.2 Méthode ML du maximum de vraisemblance
10.3 Méthode EM d’espérance-maximisation
10.4 Méthode MLEM
10.5 Méthode OSEM
11 Méthodes bayésiennes
11.1 Approches bayésiennes
11.2 Calcul de lois a posteriori
11.3 Modèles bayésiens linéaires
11.4 Choix des lois a priori
11.4.1 Lois conjuguées
11.4.2 Lois impropres
11.4.3 Lois de Jeffreys
11.5 Maximum d’entropie
12 Simulation de radiothérapie par Monte-Carlo
12.1 Modélisation des trajectoires
12.2 Interaction photon-matière
12.2.1 Diffusion élastique de Rayleigh
12.2.2 Diffusion inélastique de Compton
12.2.3 Absorption photoélectrique
12.3 Algorithme de propagation en milieu inhomogène
13 Imagerie par résonance magnétique
13.1 Le moment magnétique
13.2 La précession de Larmor
13.3 Phénomènes de relaxation
13.4 Équations de Bloch
13.5 Champ radiofréquence
13.6 Impulsions radiofréquences
13.7 Localisation et gradients de champ
13.8 Équations de Bloch-Torrey
13.9 Échos de spin
13.10 Reconstruction de l’image
14 Traitement de l’image
14.1 L’image numérique
14.2 Représentation des couleurs
14.3 Formats de fichiers
14.4 Filtrage linéaire
14.4.1 Traitement du flou
14.4.2 Détection de contours
14.4.3 Détection de points d’intérêt
15 Segmentation de l’image
15.1 Segmentation par seuillage
15.1.1 Méthode d’Otsu
15.1.2 Méthode des k-moyennes
15.2 Segmentation par contours
15.2.1 Filtre de Canny
15.2.2 Filtre de Deriche
15.2.3 Filtre de Shen-Castan
15.2.4 Contours actifs
15.3 Segmentation par régions
15.3.1 Méthode de croissance de régions
15.3.2 Méthode de découpe-fusion
15.4 Segmentation par optimisation stochastique
15.4.1 Fonctionnelle de Mumford et Shah
15.4.2 Méthodes markoviennes
15.4.3 Méthode du recuit simulé
Bibliographie
Publié par
Date de parution
14 janvier 2021
Nombre de lectures
6
EAN13
9782759824960
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
4 Mo
PROil
Mathématiques pour
l’imagerie médicale
Franck Jedrzejewski
PROil
Mathématiques pour
l’imagerie médicale
Franck Jedrzejewski
D
epuis une vingtaine d’années, l’imagerie médicale a fait des progrès considérables. Que
ce soit dans le domaine de l’échographie, de la tomographie ou de la résonance magnétique
nucléaire, les images de nos propres corps sont d’une précision sans cesse renouvelée. Les
appareils sont de plus en plus performants et les algorithmes de reconstitution d’images
permettent un traitement et une mise en couleurs qui sont une aide précieuse pour le
diagnostic médical.
Partant de connaissances élémentaires, cet ouvrage propose un cours approfondi des outils
mathématiques nécessaires à l’élaboration des images médicales. Il traite à la fois de la
reconstruction de ces images par des techniques déterministes ou bayésiennes, mais aussi
de la mise en œuvre de simulations pour la radiothérapie.
Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en
master et de futurs ingénieurs ou de physiciens des hôpitaux. C’est à eux que l’ouvrage
s’adresse en priorité, ainsi qu’aux étudiants des classes préparatoires intéressés par
l’imagerie. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir
d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur
des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.
Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA.
Il enseigne à l’INSTN et à l’Université de Paris Saclay ; il est l’auteur d’une
vingtaine d’ouvrages.
978-2-7598-2475-5
9 782759824755
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Les ouvrages de la collection PROl ont
pour vocation la transmission des savoirs
professionnels dans différentes disciplines. Ils
sont rédigés par des experts reconnus dans
leurs domaines et contribuent à la formation
www.edpsciences.org
et l’information des professionnels.
Mathématiques
pour l’imagerie médicale
Franck Jedrzejewski
Imprimé en France
ISBN (papier) : 978-2-7598-2475-5 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-2496-0
Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous
pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part,
que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées
à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le
er
consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1de
l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait
donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.
© EDP Sciences, 2021
Sommaire
Introduction
1
2
L’imagerie médicale
1.1 Lestechniques d’imagerie .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quelquesrepères historiques. . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Latomodensitométrie (CT). . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Latomographie par émission monophotonique (SPECT)
1.5 Latomographie par émission de positons (PET). . . . .
1.6 L’imageriepar résonance magnétique (IRM). . . . . . .
1.7 Lesradiopharmaceutiques .. . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Lesprincipes physiques de la tomographie. . . . . . . .
1.9 L’échellede Hounsfield. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Lesalgorithmes de reconstruction. . . . . . . . . . . . .
La transformée de Radon
2.1 Latransformée de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Latransformée de Radon .. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propriétésde la transformée de Radon. . . . . . . . . .
2.4 Transforméede Radon d’une ellipse. . . . . . . . . . . .
2.5 Relationavec la transformée de Fourier. . . . . . . . . .
2.6 Inversionde la transformée de Radon. . . . . . . . . . .
3
2.7 Transforméede Radon surR. . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Exemplesde calcul de transformée de Radon .. . . . . .
9
13
14
16
17
18
18
18
19
21
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22
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32
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35
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4
3
4
5
6
Sommaire
Reconstruction analytique
3.1 Projectionset sinogrammes. . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorèmede la coupe centrale .. . . . . . . . . . . . . .
3.3 Rétroprojection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Rétroprojectionfiltrée .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Filtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
La transformée de Radon surR
n
4.1 IntégrationsurR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propriétésde la transformée de Radon. . . . . . . . . .
4.3 Relationavec la transformée de Fourier. . . . . . . . . .
4.4 Potentielsde Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Inversionde la transformée de Radon. . . . . . . . . . .
4.5.1 Casdes dimensions impaires. . . . . . . . . . .
4.5.2 Casdes dimensions paires .. . . . . . . . . . . .
4.6 Harmoniquessphériques .. . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
44
45
46
47
49
49
53
57
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60
60
62
65
Reconstruction discrète69
5.1 Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
5.1.1 L’interpolationde Lagrange .. . . . . . . . . . .69
5.1.2 L’interpolationd’Hermite . . . . . . . . . . . . .70
5.1.3 L’interpolationde Tchebychev. . . . . . . . . .71
5.1.4 Lescourbes de Bézier. . . . . . . . . . . . . . .71
5.1.5 Lessplines cubiques. . . . . . . . . . . . . . . .72
5.2 Régressionlinéaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
5.3 Échantillonnageet théorème de Nyquist. . . . . . . . .74
5.4 Reconstructiondiscrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
5.4.1 Reconstructionpar rétroprojection filtrée. . . .78
5.4.2 Reconstructionpar transformée de Fourier rapide79
Méthodes numériques matricielles
6.1 Méthodede Kaczmarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Conditionnementd’une matrice. . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Propriétésdu conditionnement. . . . . . . . . .
6.2.2 Estimationdu conditionnement. . . . . . . . .
6.3 Méthodesdirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Méthodede Cholesky. . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 FactorisationLU .. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 FactorisationQR et méthode de Householder. .
6.4 Méthodesitératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Méthodede Jacobi .. . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Méthodesde relaxation. . . . . . . . . . . . . .
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84
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90
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7
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6.5
Sommaire
Méthodes projectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Méthoded’Arnoldi .. . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 MéthodeGMRES (Generalized Minimum
Residual Method). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 MéthodeFOM (Full Orthogonal Method) .. . .
6.5.4 Méthodedu gradient conjugué. . . . . . . . . .
6.5.5 Méthodedu gradient conjugué pour les moindres
carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
94
95
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98
Problèmes inverses99
7.1 Problèmesdirects, problèmes inverses. . . . . . . . . . .99
7.2 Exemplesde problèmes inverses. . . . . . . . . . . . . .100
7.3 Problèmesmal posés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
7.4 Problèmesinverses mal posés. . . . . . . . . . . . . . .103
7.5 L’électro-encéphalographie. . . . . . . . . . . . . . . . .104
7.6 L’échographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Régularisation et méthodes itératives
algébriques 107
8.1 Équationnormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
8.2 Régularisationde Tikhonov. . . . . . . . . . . . . . . .110
8.3 Décompositionen valeurs singulières. . . . . . . . . . .111
8.4 Méthodede troncature spectrale .. . . . . . . . . . . . .115
8.5 Critèrede Morozov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
8.6 Méthodeitérative de Landweber .. . . . . . . . . . . . .118
Probabilités
9.1 Loisde probabilités. . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Loisdiscrètes .. . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Loiscontinues .. . . . . . . . . . . . .
9.2 Modesde convergence des lois. . . . . . . . . .
9.3 Estimateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Loisconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Régressionmultilinéaire .. . . . . . . . . . . . .
9.6 Vecteursgaussiens .. . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Tiragesd’échantillons aléatoires. . . . . . . . .
9.7.1 Méthodedes congruences. . . . . . . .
9.7.2 Méthodede la transformée inverse. . .
9.7.3 Méthodede Box-Muller. . . . . . . . .
9.7.4 Méthodedu rejet de von Neumann. .
9.7.5 Méthodede Cheng pour une loi gamma
9.8 Intégrationpar Monte-Carlo. . . . . . . . . . .
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127
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139
139
140
140
141
141
6
Sommaire
9.9
9.10
9.11
9.8.1 Échantillonnagesimple .. . . . . . . . . . . . .141
9.8.2 Réductionde variance .. . . . . . . . . . . . . .142
9.8.3 Échantillonnagesuivant l’importance. . . . . .143
Processus de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
9.9.1 Mouvementbrownien .. . . . . . . . . . . . . .147
9.9.2 Chaînesde Markov. . . . . . . . . . . . . . . .148
Algorithme de Metropolis-Hastings. . . . . . . . . . . .151
Modèle d’Ising .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
10 Méthodes itératives statistiques153
10.1 Méthodedes moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
10.2 MéthodeML du maximum de vraisemblance. . . . . . .155
10.3 MéthodeEM d’espérance-maximisation .. . . . . . . . .158
10.4 MéthodeMLEM .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
10.5 MéthodeOSEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
11 Méthodes bayésiennes167
11.1 Approchesbayésiennes .. . . . . . . . . . . . . . . . . .167
11.2 Calculde loisa posteriori. . . . . . . . . . . . . . . . .169
11.3 Modèlesbayésiens linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . .173
11.4 Choixdes loisa priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
11.4.1 Loisconjuguées .. . . . . . . . . . . . . . .
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