MONTIGNY Eric
Chapitre 3 Circuits
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1.Combinaison de composants a)Les résistances Lorsque l’on connecte des résistances en séries, la résistance totale est égale à la somme des résistances :
R1
R2
R3
RN
=
REQU
R=R+R+R+...+REQU1 2 3N Lorsque l’on connecte des résistances en parallèle, l’admittance totale est égale à la somme des admittances :
R1
R2
R3
RN
=
REQU
Y=Y+Y+Y+...+Y EQU1 2 3N 1 1 1 1 1 = + + +...+ R R R R R EQU1 2 3N b)Les bobines Lorsque l’on connecte des bobines en séries, l’inductance totale est égale à la somme des inductances :
L1 L2 L3LNLEQU= L=L+L+L+...+LEQU1 2 3N Lorsque l’on connecte des bobines en parallèle, l’inverse de l’inductance totale est égal à la somme des inverses de chacune des inductances :
L1
L2
L3
LN
1 L EQU
=
1 1 1 1 = + + +...+L L L L 1 2 3N
LEQU
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c)Les capacités Lorsque l’on connecte des capacités en séries, l’inverse de la capacité totale est égal à la somme des inverses des capacités :
C1
C2
C3
CN
=
CEQU
1 1 1 1 1 = + + +...+C C C C C EQU1 2 3N Lorsque l’on connecte des capacités en parallèle, la capacité totale est égale à la somme des capacités :
C1
C2
C3
CN
=
CEQU
C=C+C+C+...+CEQU1 2 3N d)Circuit série RLC Un circuit série est une association en série, d’une résistance, d’une bobine, et d’un condensateur ; le tout étant alimenté par un générateur basse fréquence (GBF). i(t)
u(t)
~
R
L
C
Un GBF délivre une tension sinusoïdale, de fréquence f, d’amplitude U. Le circuit est donc parcouru par un courant de même fréquence que celle imposée par le générateur. Si on fait le rapport de la tension efficace sur le courant efficace, nous allons trouver l’impédance de ce circuit. Comme les éléments sont en séries, l’impédance équivalente sera égale à la somme des impédances des divers éléments, soit : Z=Z+Z+Z EQU R L C 1 11Z=R+j.L.w+ =R+j.L.wj=R+jLw−  EQU j.C.w C.wCwEtant donné que l’on souhaite avoir le module de l’impédance, on aura : 21Z=Z+(x+x)²=R²+ Lw− ² EQU R L C Cw
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Si on raisonne en terme de réactance (partie imaginaire de l’impédance), on retiendra la formule générale suivante : 2 Z=Z+(x+x)² EQU R L C Z=R R 2 x=j.L.w Z=Z+(xx)² LL CEQU R j x=  C C.wNous pouvons alors nous intéresser, à partir de cette formule, à trois cas particuliers. Circuit RL2 Z=Z+(x)² EQU R L Il n’y a pas de condensateur. Circuit RC2 Z=Z+(x)² EQU R C Il n’y a pas de bobine. Circuit LC Z=(xx)²=xxEQU L C L C Il n’y a pas de résistance. Comportement fréquentielle : Etudions l’effet de la variation de la fréquence sur ce circuit RLC. Dans un premier temps, essayons de chercher la fréquence pour laquelle nous aurons la valeur minimum de l’impédance. Le module de l’impédance est composé de deux termes, l’un ne dépend pas de la fréquence (c’est la résistance), et l’autre dépend de la fréquence (xL– xC). L’impédance sera minimum lorsque xL– xCsera nulle. Cherchons la fréquence à laquelle se produit cette condition : 1 1 1 Lw− =0L.w= ⇔w²= 0 0 0 Cw C.w0L.C 0 1 1 w=or w=2.π.f2.π.f=0 0 L.C L.C 1 f= 0 2.π.L.C L’impédance sera minimum pour f = f0, et vaudra ZEQU= R. Intéressons-nous maintenant au comportement en hautes et en basses fréquences. Pour ce faire, il nous faut factoriser les termes en w : 21 L.C.w²1Z=Z+(x+x)²=R²+ Lw− ²=R²+  ² EQU R L C Cw CwComme au numérateur, la variable est à la puissance deux, et qu’au dénominateur elle est à la puissance 1, on peut en conclure que lorsque la fréquence augmente, l’impédance va augmenter. A l’inverse, lorsque la fréquence diminue, l’impédance va diminuer. Si on trace la courbe représentative des variations de l’impédance en fonction de la fréquence, on aura : |Z|
R
f0
f
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Lorsque l’impédance est minimum, on aura le courant qui va être maximum dans le circuit, ce qui va se traduire par le graphique suivant : I I0
f f0Maintenant que nous avons vu graphiquement les phénomènes dont pouvait être le siège le circuit RLC, nous allons pouvoir faire des conclusions. L’impédance d’un circuit RLC dépend de la fréquence, et cette impédance passe par un minimum pour la fréquence f0, qui est la fréquence caractéristique (ou fréquence de résonance) : le courant traversant le circuit est maximum, et tension et courant sont en phases. La fréquence caractéristique est donnée par : 1 f=0 2.π.L.C Le facteur de qualité : Nous avons vu au précédent chapitre, que le facteur de qualité donnait une indication sur l’effet de la résistance par rapport à la réactance. Ce facteur de qualité trouve ici son application. Le facteur de qualité, dans un circuit RLC est défini comme le rapport de la tension efficace aux bornes de la bobine ou de la résistance, sur la tension efficace aux bornes du circuit RLC, à la fréquence de résonance : i(t)
u(t)
~
R
L
C
EFF UL
EFF UC
EFF U
EFF EFF U Z.xI Z L L L L Q= == = L EFF EFF Z.RI Z UEQU EQU On notera que le module de l’impédance est égale à R, car à la fréquence de résonance, l’impédance équivalente est égale à la résistance. On retiendra donc que : x L.w2.π.f.L L Q== = L R R F x1 1 C Q== = C R C.w.R C.2.π.R. Q est sans unité.
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Ce facteur Q traduit la surtension possible aux bornes du condensateur ou de la bobine, lorsque l’on se trouve à la résonance. Si Q est très grand, cela signifie que la tension aux bornes du condensateur ou de la bobine sera très grande par rapport à la tension aux bornes du circuit RLC. On retiendra aussi la relation suivante : 1L Q=. R C Cette expression vérifie bien le fait que Q sera grand, si R est faible. Notion de bande passante : Par définition, la bande passante est l’ensemble des fréquences pour lesquels l’amplitude est supérieure à l’amplitude maximum divisée par racine de deux. Si on travaille avec le gain, cela correspond à la bande de fréquences pour laquelle le gain est supérieur à GMAX – 3dB. Notons que cette définition est très générale, et qu’elle s’applique à tous les filtres ! Voyons cela graphiquement : I I0
I0/2
f0
f
BP fCB fCHLa bande passante est donc la différence entre la fréquence de coupure haute, et la bande de coupure basse : F=FFCH CB La bande passante s’exprime en hertz. Comme la bande passante est liée à la fréquence de résonance, et que la fréquence de résonance est liée au facteur de qualité, on peut facilement exprimer une relation entre la bande passante et le facteur de qualité : f 0 Q= F f 0 F= Q On notera donc que plus le facteur de qualité est élevée (donc plus l’effet de la résistance est faible), et plus la bande passante sera petite : on parlera alors d’une grande sélectivité. A l’inverse, si le facteur de qualité est faible, la bande passante sera large, et le circuit sera alors qualifié de peu sélectif.
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e)Circuit RLC parallèle Un circuit RLC parallèle est une association d’une résistance, d’une inductance et d’une bobine, placée en parallèle. C’est un générateur basse fréquence, qui impose sa fréquence aux éléments du circuit : i(t)
u(t)
~
iR(t)
R
iL(t)
L
iC(t)
C
Lorsque l’on applique la loi des nœuds dans le circuit, on a : i(t)=i(t)+i(t)+i(t) R L C Détermination de l’impédance du circuit : Pour déterminer l’impédance du circuit, il suffit de constater que les éléments sont en parallèles, donc l’impédance d’une association d’éléments parallèles est égale à la somme des admittances : 1 =Y=Y+Y+Y EQU R L C Z EQU 1 1 Z= = EQU Y Y+Y+Y EQU R L C Or il s’agit ici d’une impédance complexe (contenant deux informations : une sur l’impédance à proprement parlée, et une sur le déphasage). Intéressons-nous au module de l’impédance : 1 1 1 Z== = EQU 2 2 2 2 2 Y+Y+Y 1 −1  R L C11 1 + +  (C.w)²+R²L.w  R²x x L CComportement fréquentielle : Si on procède à une étude identique à celle faites précédemment, on obtiendra la même fréquence de résonance, à savoir : 1 f=0 2.π.L.C Par contre, à la résonance, on aura : L’impédance qui est maximale Le courant et la tension sont en phase Les graphes seront les suivants : Pour l’impédance : Z R
f0
f
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Pour le courant :
I
I0
f
f0On retiendra qu’à la résonance, l’impédance est maximum, est égale à R. Influence du facteur de qualité : Pour un circuit parallèle, le facteur de qualité n’est pas définit de la même manière. Il s’agit cette fois du rapport de l’intensité efficace traversant la bobine ou le condensateur, sur l’intensité efficace du circuit. EFF i
u(t)
~
EFF iR
R
EFF iL
L
EFF IC
EFF EFF I I(U/Z) (U/Z) L C L C Q== = = I I(U/R) (U/R) EFF EFF R R Q= = Z Z L C On retiendra donc que : R R Q= =x x L C En remplaçant par leurs expressions respectives, on aura : R R R Q= = = x L.w2.π.f.L L R Q= =C.w.R=2.π.f.C.R x C Si l’on fait intervenir la fréquence de résonance, on aura l’expression : C Q=R. L On notera que le facteur de qualité est élevé si la résistance est élevée.
C
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Notion de bande passante : A la résonance l’impédance est maximale, donc la tension sera elle aussi maximum. La courbe de réponse fréquentielle sera du type : U U0
U0/2
f0
f
BP fCB fCHLa bande passante est liée au facteur de qualité, par la relation : f 0 F=Q Circuit RLC série, et circuit RLC parallèle : analogie On remarque que ces circuits sont complémentaires : pour le circuit série, c’est l’intensité qui sera maximum à la résonance, alors que pour le circuit parallèle, c’est la tension qui sera maximum. On notera que les fréquences de résonance sont identiques dans les deux montages. 2.Les filtres fréquentielles Un filtre est un dispositif permettant de privilégier ou d’éliminer certaines fréquences du spectre du signal. On distingue quatre types de filtres différents, mais rien n’empêche d’en combiner plusieurs : Filtre passe-bas : Laisse passer les signaux de basses fréquences, et atténue les signaux de hautes fréquences.
Basses Fréquences
Hautes Fréquences
f
Filtre passe-haut : Laisse passer les signaux de hautes fréquences, et atténue les signaux de basses fréquences.
Basses Fréquences
Hautes Fréquences
f
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Filtre passe-bande : Laisse passer une bande de fréquence, et atténue les autres.
Basses Fréquences
Bande passante
Hautes Fréquences
Filtre coupe bande : Atténue une bande de fréquence, et laisse passer les autres.
Basses Fréquences
Bande passante
Hautes Fréquences
Etudions en détails, divers filtres : Le circuit LC série (filtre réjécteur): Il s’agit d’une application du circuit RLC série :
UE
R
L
C
US
f
f
En sortie de ce filtre, on retrouvera l’ensemble du spectre des fréquences présentes à l’entrée, exception faites d’une petite bande de fréquence, autour de la fréquence caractéristique.
-0
-20
-40
-60
-80 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHz 100MHz 1.0GHz 10GHz DB(V(SORTIE)/V(ENTREE)) Frequency Le chronogramme ci-dessus, donne l’allure du module du gain en fonction de la fréquence. On constate que le signal est très fortement atténué au niveau de la fréquence caractéristique.
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Le circuit LC parallèle (circuit bouchon) :
UE
L
C
R
US
En sortie on retrouvera toutes les fréquences appliquées à l’entrée, à l’exception d’une petite bande de fréquence, autour de la fréquence caractéristique.
0
-0.5
-1.0
-1.5 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHz DB(V(SORTIE)/V(ENTREE)) Frequency Comme on peut le voir sur ce chronogramme, la bande de fréquencerejetéeest très faible. Filtre sélectif :
UE
R
L
C
US
100MHz
En sortie, on ne retrouve qu’une petite bande de fréquence (autour de la fréquence caractéristique), les autres fréquences étant atténuées.
-0
-50
-100
-150 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHz 100MHz 1.0GHz 10GHz DB(V(sortie)/V(ENTREE)) Frequency Sur le chronogramme ci-dessous, on constate bien une atténuation pour les signaux ayant une fréquence différente de la fréquence caractéristique de ce filtre. Notons que le filtre étudié ici, n’est pas très séléctif. Les filtres passe-bas :