Analyse complexe et équations différentielles

Barreira Luis

Description

Ce manuel introductif s'adresse à tout étudiant (classe préparatoire, université, école ingénieurs) connaissant les principes de bases en algèbre linéaire, calcul différentiel et intégral.
Il aborde notamment les notions de :
• fonctions holomorphes,
• fonctions analytiques,
• équations différentielles ordinaires,
• séries de Fourier,
• applications aux équations aux dérivées partielles.

Il contient un grand nombre d'exemples illustrant en détail les nouveaux concepts et résultats. À la fin de chaque chapitre, l'étudiant trouvera des exercices de difficulté progressive, toujours accompagnés de leurs solutions. L'ouvrage « Exercices d'Analyse Complexe et Équations Différentielles » de Barreira et Valls, dans la même collection, lui permettra de compléter son étude.

 

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 août 2011
• Nombre de lectures: 3
• EAN13: 9782759812233
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 6 Mo

Extrait

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

L2M1
Analyse Complexe et
Équations Différentielles

Luís Barreira

ANALYSE COMPLEXE
ET ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES

Luís Barreira
Traduit par Luís Barreira et Clàudia Valls

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

Édition
Lisboa,

originale :Análise complexa e equações diferenciais,Press,c IST
2009

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0615-7
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées
dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon.
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75006 Paris. Tél. : [phone].

c2011, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Pour Clàudia

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

Avant-Propos

I

I

II

III

Analyse complexe

TABLE DES MATIÈRES

Notions de base
I.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nombres complexes
I.2Forme polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4Fonctions complexes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercices

Fonctions holomorphes
II.1Limites et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Différentiabilité .
II.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Condition de différentiabilité
II.4Chemins et intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Primitives .
II.6Indice d’un lacet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.7Formule intégrale de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.8Intégrales et homotopie de chemins. . . . . . . . . . . . . . .
II.9. . . . . . . . . . . . . . . .Fonctions harmoniques conjuguées
II.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercices

Suites et séries
III.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Suites . . . .
III.2Séries de nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Séries de nombres réels

ix

1

3
3
7
10
12
17

21
21
22
31
34
42
49
52
53
56
60

65
65
67
70

Analyse complexe et équations différentielles

vi

IV

II

V

VI

VII

III.4
III.5

Convergence uniforme
Exercices . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76
81

Fonctions analytiques85
IV.1Séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
IV.2Zéros .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
IV.398. . . . . . . . . . . . . . . . .Séries de Laurent et singularités
IV.4Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Fonctions méromorphes
IV.6Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Équations différentielles

117

Équations différentielles ordinaires119
V.1Notions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
V.2Existence et unicité des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . 122
V.3Équations linéaires : cas scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 129
V.4Équations linéaires : cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
V.5. . . . . . . . . . . . . . . 138Calcul d’exponentielles de matrices
V.6Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

Résolution d’équations différentielles147
VI.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Équations exactes
VI.2Les équations réductibles à des équations exactes .. . . . . . . 151
VI.3. . . . . . . . . . . . 153Équations scalaires d’ordre supérieur à 1
VI.4Transformée de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
VI.5Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

Séries de Fourier179
VII.1Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
VII.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Séries de Fourier
VII.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Unicité et orthogonalité
VII.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Fonctions paires et impaires
VII.5. . . . . . . . . . . . . . . . 198Séries de cosinus et séries de sinus
VII.6Intégration et différentiation terme à terme. . . . . . . . . . . 201
VII.7Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

VIII Équationsaux dérivées partielles207
VIII.1Équation de la chaleur et modifications. . . . . . . . . . . . . 207
VIII.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Équation de Laplace .

Équation de propagation des ondes. . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

vii

Bibliographie

Index

VIII.3
VIII.4

Table des matières

225

227

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

AVANT-PROPOS

Ce livre est une introduction à deux grands domaines des mathématiques :
l’analyse complexe et les équations différentielles. Nous étudions en particulier
les fonctions holomorphes, les fonctions analytiques, les équations différentielles
ordinaires, les séries de Fourier et les applications aux équations aux dérivées
partielles. Ce sont des sujets naturels et importants, par exemple en économie, en
ingénierie, en physique, et évidemment en mathématiques.
Cet ouvrage est destiné à tout étudiant (classes préparatoires, université, écoles
d’ingénieurs) connaissant les notions de base en algèbre linéaire, calcul différentiel
et calcul intégral.
Ce livre comprend un grand nombre d’exemples illustrant en détail les
nouveaux concepts et résultats. Il contient également des exercices à la fin de chaque
chapitre, avec des niveaux de difficulté variables et toujours avec leurs solutions.
Une reconnaissance particulière est due à Clàudia Valls pour ses
encouragements et pour son aide fondamentale dans cette traduction. Je suis également
très reconnaissant à Agnès Henri (EDP Sciences) pour sa disponibilité et pour
son aide et plus particulièrement à Daniel Guin pour sa révision très attentive de
la traduction initiale.

Luís Barreira
Barcelone, janvier 2011

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

Première partie

Analyse complexe

7KLV SDJH LQWHQWLRQDOO\ OHIW EODQN

I

NOTIONS DE BASE

On présente dans ce chapitre l’ensemble des nombres complexes, ainsi que
quelques notions de base. On décrit en particulier l’addition, la multiplication,
les puissances et les racines des nombres complexes. On présente également les
extensions à la variable complexe de plusieurs fonctions de variable réelle, comme
l’exponentielle, le cosinus, le sinus et le logarithme.
Ce chapitre, au contenu volontairement très élémentaire et qui peut être omis
par les lecteurs ayant une bonne habitude des nombres complexes, a pour objectif
de préciser les notions concernant l’ensembleCqui seront utilisées dans ce livre
et de fixer les notations.

On commence
semble des paires
plication.

I.1.

Nombres complexes

par présenter l’ensemble des nombres complexes comme
l’ende nombres réels muni de deux opérations, addition et
multi

2
D´finitionI.1.1.L’ensembleCdesnombres complexesest l’ensembleRdes
paires de nombres réels avec les opérations

et

′ ′′ ′
(a, b) + (a ,b) = (a+a , b+b)

′ ′′ ′′ ′
(a, b)∙(a ,b) = (aa−abbb ,+ba),

′ ′2
pour tout(a, b),(ba ,)∈R.

(I.1)

(I.2)

Chapitre I.Notions de base

4

On observe que le produit des nombres complexes dans (I.2) n’est pas le
produit scalaire. On peut vérifier facilement que les opérations dans (I.1) et (I.2) sont
commutatives,
′ ′′ ′
(a, b) + (a ,b) = (a ,b) + (a, b)
et
′ ′′ ′
(a, b)∙(a , b) = (a , b)∙(a, b),
′ ′2
pour tout(a, b),(ba ,)∈R.

ExempleI.1.2.On a, par exemple :

et

(5,4) + (3,2) = (8,6)

(2,1)∙(−1,6) =2∙(−1)−1∙6,2∙6 + 1∙(−1) =(−8,11).

Par souci de simplicité dans la notation, on pose :

(a,0) =a,

identifiant ainsi une paire(a,0)∈Ravec le nombre réela(voir la Figure I.1). On
définit l’unité imaginairepar (voir la Figure I.1):

(0,1) =i.

i

(a,0) =a

FigureI.1. Nombres réels et unité imaginaire.

I.1.Nombres complexes

2
PropositionI.1.3.On ai=−1eta+ib= (a, b)pour touta, b∈R.

Démonstration.En fait,

et

2
i= (0,1)∙(0,1) = (−1,0) =−1

a+ib= (a,0) + (0,1)∙(b,0)
= (a,0) + (0, b) = (a, b),

ce qu’il fallait démontrer.

Donc, on a
C={a+ib:a, b∈R}.
On introduit maintenant quelques notions de base.

D´finitionI.1.4.Soitz=a+ib∈C. Le nombre réelaest lapartie réelledez
et le nombre réelbest lapartie imaginairedez(voir la Figure I.2). En outre,
on écrit

a=ℜz

(0, b) =ib

et

b=ℑz.

a+ib

(a,0) =a

FigureI.2. Partie réelle et partie imaginaire.

ExempleI.1.5.Siz= 2 +i3, alorsℜz= 2etℑz= 3.

5

Chapitre I.Notions de base

6

On remarque que deux nombres complexesz1, z2∈Csont égaux si et
seulement si
ℜz1=ℜz2etℑz1=ℑz2.

D´finitionI.1.6.Soitz∈Cde la forme

z=rcosθ+irsinθ,

(I.3)

avecr≥0etθ∈R. Le nombrerest lemoduledezet le nombreθest un
argumentdez(voir la Figure I.3). En outre, on écrit

r=|z|

et

θ= argz.

r

θ

iθ
rcosθ+irsinθ=re

FigureI.3. Module, argument et forme polaire.

On observe que le nombre réelθdans (I.3) n’est pas unique. En fait, si