Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II

Jean Roux, Robert Roussarie

Description

Cet ouvrage s'adresse aux étudiants d'un master de mathématiques ou de physique théorique, mais il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des informations sur les aspects topologiques de la théorie des systèmes dynamiques. Il est une introduction à certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques s'appuyant sur la théorie développée dans le tome I, publié dans la même collection (Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle).

On ne propose pas un exposé systématique du sujet. Les auteurs ont voulu, au contraire, se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer avec détails, comme par exemple les idées de René Thom sur généricité et transversalité, l'étude locale au voisinage des singularités hyperboliques, la stabilité structurelle... La théorie des bifurcations est largement présentée, ainsi que les résultats et méthodes de cette théorie pour les champs de vecteurs de dimension 2. Chaque chapitre est illustré par de nombreux exemples.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Sciences et techniques
• Mathematics

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 4
• EAN13: 9782759812158
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 10 Mo

Extrait

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

M1M2
Des équations
différentielles aux
systèmes dynamiquesII

VERS LA THÉORIE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES

Robert Roussarie et Jean Roux

DES ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
AUX SYSTÈMES DYNAMIQUES

Tome 2
Vers la théorie des systèmes dynamiques

Robert Roussarie et Jean Roux
Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France

Illustration de couverture: Figure du haut : diagramme de la bifurcation
de Hopf-Takens de codimension 3. Figures du bas : (à gauche) portrait de
phase d’un modèle de compétition de deux espèces (cas de leur coexistence);
(à droite) portrait de phase de l’éclatement du déploiement de Bogdanov-Takens.

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0654-6
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées
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75006 Paris. Tél. : [phone].

c2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A

Avant-Propos

1

2

3

TABLE DES MATIÈRES

Introduction
1.1Modélisation d’évolutions par champs de vecteurs et itérations
1.2Équivalences entre systèmes dynamiques. . . . . . . . . . . .
1.3. . . . . . .Un survol des propriétés des systèmes dynamiques
1.4Exemples de systèmes dynamiques .. . . . . . . . . . . . . . .
1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plan du tome 2

Généricité et transversalité
2.1Germe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. . . . . . . . . . . . . .Topologie sur les espaces fonctionnels
k
2.2.1Convergence de classeC. .sur les ouverts euclidiens
2.2.2Généralisation aux variétés. . . . . . . . . . . . . . .
2.3La notion de généricité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. . . . . . . . . . . .Le lemme fondamental de transversalité .
2.5. . . . . . . . . . . . .Le théorème de transversalité de Thom
2.5.1Le cas euclidien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . .Formulation générale
2.6Exemples de propriétés génériques. . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Remarques finales
2.7.1Intérêt et limite du théorème de transversalité. . . .
2.7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . .Topologie de Whitney
2.7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .Notion de singularité

Étude locale des singularités hyperboliques
3.1Points singuliers et points fixes hyperboliques .. . . . . . . . .
3.2Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques. . . . . .

vii

1
1
5
8
12
18

23
23
24
24
31
32
35
42
42
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52
52
54
55

59
59
62

Des équations différentielles aux systèmes dynamiques

iv

4

5

3.3

3.4

3.5

3.6
3.7

3.2.165Champs contractants et contractions hyperboliques
3.2.270. . . . . . . .Cas général d’un point de selle linéaire
Variétés invariantes locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
3.3.1Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes74
3.3.2Variétés invariantes locales pour les champs
de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
Leλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81-Lemma de Palis
3.4.1. . . . . . . . . . . .83Quelques estimations préalables
3.4.2Suites convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
3.4.3Énoncés et preuves duλ88-Lemma . . . . . . . . . . . .
Feuilletages invariants locaux .. . . . . . . . . . . . . . . . . .96
3.5.196. . . . . . . . . . . . .Le cas des champs de vecteurs
3.5.2Le cas des difféomorphismes. . . . . . . . . . . . . .99
Linéarisation topologique locale. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Variétés invariantes globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Systèmes dynamiques structurellement stables111
4.1Introduction .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Stabilité structurelle locale
4.3Stabilité des champs en dimension1. . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre0. . 118
4.5Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre≥1125
2
4.5.1Champs de vecteurs du toreTsans singularités. . . 125
4.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Le cas général
4.6. . . . . . . . . . . . . 137Les systèmes de Morse-Smale généraux
4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Les ensembles hyperboliques
4.7.1Le fer à cheval de Smale .. . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7.2Généralités sur les ensembles hyperboliques. . . . . . 156
4.7.3Quelques autres exemples de systèmes hyperboliques159
4.8. . . . . . . . . . . . . . . . 163Au-delà de la stabilité structurelle
4.8.1. . . . . . . 163Non-généricité de la stabilité structurelle
4.8.2Attracteurs non hyperboliques. . . . . . . . . . . . . 165

Les bases de la théorie des bifurcations167
5.1Introduction .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2. . . . . . . . . . . . . . . . 167Premiers exemples de bifurcation
5.3Déploiements versels pour les singularités. . . . . . . . . . . . 179
5.4Réduction à une variété centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4.1Champs de vecteurs et difféomorphismes. . . . . . . 188

6

7

5.5

5.6

5.7

Table des matières

5.4.2Déploiements de champs de vecteurs
et de difféomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . .
Déploiements de type selle-nœud .. . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1Déploiements de type selle-nœud surR. . . . . . . .
2
5.5.2Déploiements de type selle-nœud surR. . . . . . . .
Formes normales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. . . .Formes normales pour les champs de vecteurs .
5.6.2. .Formes normales pour les déploiements de champs
5.6.3. . . . . .Formes normales pour les difféomorphismes
Bifurcations de Hopf-Takens. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+
5.7.1Digression sur les homéomorphismes deR. . . . . .
5.7.2. . . . . . . . . . . .Démonstration du théorème 5.14
5.7.3. . . . . . .Caractérisation des déploiements versels .

189
192
192
196
197
198
205
206
206
209
214
217

Compléments théorie des bifurcations225
6.1Désingularisation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.1.1Désingularisation des germes de champs de vecteurs
2
en0∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.1.2Désingularisation des déploiements de champs
2
de vecteurs en0∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2. . . . . . . . . . . . . . . 240La bifurcation de Bogdanov-Takens
6.3Déploiements de champs en dimension 2. . . . . . . . . . . . 243
6.3.1Singularités de codimension≤2. . . . . . . . . . . . 245
6.3.2. . . . . . . . . . . . . . 246Sous-filtrations particulières .
6.3.3Singularités de codimension≤3. . . . . . . . . . . . 247
6.4. . . . . . . . 248Déploiements d’orbites périodiques et polycycles
6.4.1. . . . . . . . . . 250Bifurcation des orbites périodiques .
6.4.2. . . . . . . . . 251Connection de selle de codimension 1
6.4.3Déploiements génériques de polycycles hyperboliques256
6.4.4Connection de selle de codimension quelconque. . . . 256
6.4.5. . 258Autres résultats sur les bifurcations de polycycles
6.5Bifurcations globales sur la sphère. . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.5.1Le problème de la cyclicité finie. . . . . . . . . . . . 260
6.5.2. . . . . 265Le seizième problème de Hilbert infinitésimal
6.5.3. . . . . 271Difficulté d’une théorie de bifurcation globale

Le système de Lorenz275
7.1Les équations de la convection. . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.2Formulation et approximation variationnelles. . . . . . . . . . 277
7.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Considérations générales

v

Des équations différentielles aux systèmes dynamiques

vi

7.4

7.5
7.6

Hypothèses du modèle et fonctions de base. . . . . . . . . . . 281
7.4.1Les conditions limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.4.2Construction modale des fonctionsψetθ. . . . . . . 283
Le modèle de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Étude partielle du modèle de Lorenz .. . . . . . . . . . . . . . 287
7.6.1Propriété de confinement du flot deXa,b,r. . . . . . . 287
7.6.2Étude des points singuliers deXa,b,r. . . . . . . . . . 289
7.6.3Sous-criticité de la bifurcation de Hopf
et comportement du modèle pourr > r0. . . . . . . . 299

Bibliographie

Index

309

315

AVANT-PROPOS

Le contexte et le plan général de l’ouvrage ont été donnés dans l’avant-propos
du tome 1. Le tome 1 est composé de deux parties (I etII). La partie I rappelle les
notions de topologie différentielle indispensables à une lecture autonome des deux
tomes de l’ouvrage. La partie II est un cours classique sur la théorie qualitative des
équations différentielles, basé sur le théorème de Cauchy d’existence et d’unicité
locales des trajectoires de ces équations et sur la notion centrale de flot d’un
champ de vecteurs. Précisons le plan du tome 2.
Dans un chapitre d’introduction, on donne quelques définitions de base ainsi
que des exemples de systèmes dynamiques. Dans le deuxième chapitre, on
introduit quelques idées importantes dues à René Thom, à savoir la notion de
généricité déjà mentionnée et son rapport avec celle de la transversalité. Ces questions
sont développées, par exemple le lemme fondamental de transversalité puis les
différentes versions du théorème de tr