Introduction aux variétés différentielles

Jacques Lafontaine

Description

Ce livre scientifique est une initiation aux variétés différentielles, préalable à des enseignements plus spécialisés. Le lecteur devra posséder une compétence sur le calcul différentiel dans les espaces euclidiens. Sont abordées les principales notions de géométrie différentielle : variétés différentielles, espaces tangent et cotangent, champs de vecteurs, formes différentielles. De nombreux exemples sont traités en détail. Cet ensemble constitue une introduction aux groupes de Lie. Il est illustré par les éléments de théorie du degré et de cohomologie.

Introduction aux variétés différentielles a pour objectif d'être un ouvrage de base. Il propose des exercices classiques pour l'étudiant et le débutant en la matière, d'autres plus délicats pour l'enseignant, le chercheur ou l'étudiant de niveau plus avancé. Les solutions d'un bon nombre d'entre eux sont données en fin de volume.

Le succès de la première édition notamment auprès des étudiants a motivé les améliorations de cette édition. Un chapitre nouveau est proposé sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et le théorème de Gauss-Bonnet. Cet ouvrage est un pap-ebook : un site web corrélé propose des compléments et des annexes. Le lecteur peut ainsi s'appuyer sur des rappels, des exercices, des approfondissements sur le site compagnon présenté au début du livre.

Destiné aux étudiants de master et des préparations à l'agrégation, aux universitaires, aux professeurs des lycées et des classes préparatoires. Les physiciens sont également concernés.

 

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Mathematics
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 01 octobre 2010
• Nombre de lectures: 11
• EAN13: 9782759801206
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 8 Mo

Extrait

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GRENOBLE

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CO L L E C T I O NGR E N O B L ESC I E N C E S
DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS
DIFFÉRENTIELLES

Nouvelle édition
QJacques LAFONTAINE

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INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
nouvelle édition

Grenoble Sciences

Grenoble Sciences est un centre de conseil, expertise et labellisation de
l’enseignement supérieur français. Il expertise les projets scientifiques des auteurs dans
une démarche à plusieurs niveaux (référés anonymes, comité de lecture
interactif) qui permet la labellisation des meilleurs projets après leur optimisation.
Les ouvrages labellisés dans une collection de Grenoble Sciences ou portant la mention
« Sélectionné par Grenoble Sciences » («Selected by Grenoble Sciences»)
correspondent à :
» desprojets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme,
» desqualités scientifiques et pédagogiques certifiées par le mode de sélection (les
membres du comité de lecture interactif sont cités au début de l’ouvrage),
» unequalité de réalisation certifiée par le centre technique de Grenoble Sciences.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences
JeanBORNAREL, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1

On peut mieux connaître Grenoble Sciences en visitant le site web :
http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

On peut également contacter directement Grenoble Sciences :
Tél [phone], e-mail :[e-mail]

Livres et pap-ebooks
Grenoble Sciences labellise des livres papier (en langue française et en langue
anglaise) mais également des ouvrages utilisant d’autres supports. Dans ce contexte,
situons le concept depap-ebookqui se compose de deux éléments :
» unlivre papierqui demeure l’objet central avec toutes les qualités que l’on connaît
au livre papier
» unsiteweb corréléou siteweb compagnonqui propose :
›des éléments permettant de combler les lacunes du lecteur qui ne possèderait pas
les prérequis nécessaires à une utilisation optimale de l’ouvrage
›des exercices de training
›des compléments permettant d’approfondir, de trouver des liens sur internet, etc.
Le livre dupap-ebookest autosuffisant et certains lecteurs n’utiliseront pas le site
web compagnon. D’autres pourront l’utiliser, et chacun à sa manière. Un livre qui
fait partie d’unpap-ebookporte en première de couverture un logo caractéristique
et le lecteur trouvera le site compagnon à l’adresse internet suivante :
http://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/nom de l’auteur du livre

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INTRODUCTION
AUX VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES
nouvelle édition

Jacques LAFONTAINE

17, avenue du Hoggar
Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112
91944 Les Ulis Cedex A - France

Introduction aux variétés différentielles

Cet ouvrage est labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur
Mathématiques de la Collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe
des projets originaux et de qualité. Cette collection est dirigée parJeanBORNAREL,
Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1.

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› PierreAVERBUCH, Directeur de recherche honoraire au CNRS, Grenoble
› PierreBERARD, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble I
› GaëlMEIGNIEZ, Professeur à l’Université de Bretagne Sud
› Jean-YvesMERINDOL, Professeur, Directeur de l’ENS Cachan
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Analyse numérique et équations différentielles(Jean-Pierre Demailly)y Analyse
statistique des données expérimentales(Konstantin Protassov)y Approximation
Hilbertienne(Marc Attéia et Jean Gaches)y Description de la symétrie(Jean Sivardière)y
Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome I(Daniel Alibert)y
Exercices corrigés d’analyse avec rappels de cours - Tome II(Daniel Alibert)y
Mathématiques pour l’étudiant scientifique - Tome I(Philippe-Jacques Haug)y
Mathématiques pour l’étudiant scientifique - Tome II (Philippe-JacquesHaug)y
Mathématiques Pour les Sciences de la Vie, de la Nature et de la Santé(Jean Paul et Françoise
Bertrandias)y Méthodes numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur
(Jean-Philippe Grivet)y Nombres et algèbre(Jean-Yves Mérindol)y Outils
mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs(E. Belorizky)

HW G¶DXWUHV WLWUHV VXU OH VLWH LQWHUQHW
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ISBN 978-2-7598-0572-3
© EDP Sciences, 2010

Pour David,

Table

des

matières

Table des matièresI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comment utiliser cet ouvrage pap-ebook1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Chapitre 1. Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.1. Qu’est-ce que le calcul différentiel? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.2. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.2. Différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2.1. Définition et propriétés de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.2.2. Trois exemples fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
p
1.2.3. Fonctions de classeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.3. Théorème des fonctions composées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1.4. Inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.4.1. Difféomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.4.2. Difféomorphismes locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.4.3. Immersions, submersions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.5. Sous-variétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.5.1. Propriétés de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.5.2. Exemples : sphères, tores, groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.5.3. Paramétrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.5.4. Vecteurs tangents, espace tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
1.6. Sous-groupes à un paramètre du groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.7. Points critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
1.8. Valeurs critiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

II

Introduction aux variétés différentielles

1.9. Calcul différentiel en dimension infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
1.10. Commentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
1.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Chapitre 2. Notions de base sur les variétés53. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.1.1. Un exemple typique : les droites du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.1.2. Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
2.2. Cartes, atlas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.2.1. Des variétés topologiques aux variétés lisses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.2.2. Premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.3. Fonctions différentiables; difféomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.4. Le théorème de d’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.5. Les espaces projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
2.6. L’espace vectoriel tangent; applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2.6.1. Espace tangent, application linéaire tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2