Inversion

Jean-Pierre Boudine

Description

On trouve assez peu de géométrie dans l’enseignement des mathématiques à la fin du collège et au lycée. Dommage pour ceux qui apprécient la beauté des figures et la pureté des raisonnements ! Depuis longtemps, l’Inversion a disparu des programmes, tout comme les coniques et la géométrie projective. Aujourd’hui, il est difficile d’affirmer que tout bachelier scientifique saurait prouver clairement que par trois points non alignés il passe toujours un cercle (et un seul). Il y a dorénavant une « Cause de la Géométrie » à défendre ! C’est dans un club de maths qu’il est possible de le faire, sans modération.
Cet ouvrage se veut un outil au service de ceux qui souhaitent mieux comprendre et pratiquer ce domaine particulier des mathématiques, au sein d’un club… ou en solo ! Les amateurs de géométrie le savent bien : outre le plaisir intellectuel de trouver les solutions, c’est tout un univers d’harmonie et d’équilibre qui se déploie, dès lors que l’on aborde ces problèmes.

Introduction 7

1 Birapport 11

1.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Puissance 35

2.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .35

3 Polaire 57

3.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .57

4 Pinceaux de cercles 69

4.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .69

5 L’inversion 91

5.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . .92

5.2 Images des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

5.3 Exercices.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

5.4 Exercices.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

6 Pages 189

6.1 Théorème de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2 L’affaire des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . .197

7 Études 203

7.1 Écart inversif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

7.2 Porisme de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

A L’invariant anallagmatique 225

B Le cercle de similitude 235

C RÉSU 245

Bibliographie 253

Sujets

• Sciences et techniques
• Algebra
• Mathematics
• Mathématiques
• Steiner

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 18 janvier 2024
• Nombre de lectures: 4
• EAN13: 9782759833399
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Inversion L’harmonie des cercles

JeanPierre Boudine

Inversion L’harmonie des cercles

JeanPierre Boudine

On trouve assez peu de géométrie dans l’enseignement des mathématiques à la fin du collège et au lycée. Dommage pour ceux qui apprécient la beauté des figures et la pureté des raisonnements !

Depuis longtemps, l’Inversion a disparu des programmes, tout comme les coniques et la géométrie projective. Aujourd’hui, il est difficile d’affirmer que tout bachelier scientifique saurait prouver clairement que par trois points non alignés il passe toujours un cercle (et un seul). Il y a dorénavant une « Cause de la Géométrie » à défendre ! C’est dans un club de maths qu’il est possible de le faire, sans modération.

Cet ouvrage se veut un outil au service de ceux qui souhaitent mieux comprendre et pratiquer ce domaine particulier des mathématiques, au sein d’un club… ou en solo ! Les amateurs de géométrie le savent bien : outre le plaisir intellectuel de trouver les solutions, c’est tout un univers d’harmonie et d’équilibre qui se déploie, dès lors que l’on aborde ces problèmes.

Agrégé de mathématiques,JeanPierre Boudine a participé à plusieurs aventures de popularisation des mathématiques : création des magazines Tangente,Quadrature, du jeu-concoursKangourou des mathématiques. Il a coordonné sous l’égide de l’Université de Marseille un projet Leonardo da Vinci sur l’évaluation automatisée (AEVEM). Dans le cadre de l’association ANIMATH, il a animé des clubs des mathématiques en Afrique (Cameroun et RDC), et en France.

978-2-7598-3338-2

9782759833382

www.edpsciences.org

Inversion

L’harmonie des cercles

_____________

Jean-Pierre Boudine

Du même auteur

La géométrie de la chambre à air– Sciences & Vie Junior et Vuibert – 1998 Homo Mathematicus– Vuibert – 2000 Le Paradoxe de Fermi– Gallimard Poche – 2017 L'Appel des maths1 Nombres – Cassini – 2019 L'Appel des Maths2 Géométrie – Cassini – 2020

Illustration de couverture: Chaîne de cercles inscrits entre deux cercles, lieu des centres, lieu des points de contacts – ©Malgame.

Imprimé en France

ISBN (papier) : 978-2-7598-3338-2 – ISBN (ebook) : 978-2-7598-3339-9

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses er ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1 de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal.

© EDP Sciences, 2024

Le Diable a fait un miroir. Déformant bien entendu. Pire que cela, inversant. Tout ce qui s'y reƽète de beau devient hideux. Tout ce qui y paraît de mauvais semble irrésistiblement séduisant.

Michel Tournier,Le vent Paraclet à propos de « La Reine des Neiges » d’Andersen.

Table

Introduction

des

matières

7

1 Birapport 11 1.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Puissance 2.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35

3 Polaire 57 3.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Pinceaux de cercles 69 4.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 L’inversion 91 5.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2 Images des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Exercices.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Exercices.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6 Pages 6.1 Théorème de Feuerbach . .

5

189 . . . . . . . . . . . . . 189

RÉSU

6

C

L’affaire des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . 197

253

235

245

225

Études 203 7.1 Écart inversif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2 Porisme de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B

A L’invariant anallagmatique

Le cercle de similitude

Bibliographie

6.2

7

TABLE DES MATIÈRES

Introduction

Ce livre est destiné aux collégiens et lycéens qui participent à des clubs de mathématiques, aux enseignants qui les animent, et aux collègues curieux, en particulier ceux investis dans les « la- boratoires de mathématiques » qui, à l’initiative du ministère, 1 se créent aujourd’hui dans nombre d’établissements . Il pourra aussi, j’espère, aider les enseignants qui préparent le CAPES et intéresser des adultes aimant les mathématiques pour elles- mêmes. Par conséquent les questions y sont abordées sous l’angle de la curiosité, de la découverte, du plaisir d’une activité de recherche libre, qui ne cesse pourtant pas d’être à proprement parler une disciplineexigeante. Un club de maths n’est ni une structure de soutien pour des élèves « en difficulté » ni une écurie d’entraînement aux concours généraux ou aux olympiades internationales. C’est un moment de la semaine (une heure trente, par exemple) où des volontaires de « niveaux » variés se réunissent avec un animateur enseignant pour faire des mathématiques. Je connais des clubs où viennent des filles et des garçons de classe de seconde, de première et de terminale, mêlées. La classe

1. https ://eduscol.education.fr/1469/laboratoires-de-mathematiques.

7

8

TABLE DES MATIÈRES

de troisième, également, est particulièrement propice à cette ac- tivité parce que c’est sans doute vers quinze ans que les jeunes sont les plus disponibles aux activités mathématiques.

Dans ce livre, il s’agit de partir à la découverte d’une transfor- mation particulièrement intéressante, l’Inversion. Relativement aux autres questions de géométrie abordées en collège et en ly- cée, c’est un sujet moderne. Elle apparaît et prend forme au dix- neuvième siècle. Elle ne doit donc rien à Euclide ni aux grands géomètres de l’Antiquité, contrairement à toute la géométrie des figures planes, ou des solides de l’espace, aux coniques, etc. On peut le comprendre car c’est une théorienon linéaire. Les images de trois points alignés ne sont pas, en général, trois points alignés. L’image d’un milieu n’est pas le milieu des images. Les images de deux droites parallèles ne sont pas des droites (ni des cercles) parallèles, etc. Mais contrairement à la géométrie des figures planes, la géo- métrie de l’inversion ouvre sur quantité de questions que l’on peut rencontrer à l’université : géométrie projective, groupe circulaire, géométrie hyperbolique, etc. Dans ce livre, l’inversion est traitée comme elle l’était au lycée jusqu’en 1972, date à laquelle elle a disparu des radars, éliminée par la réforme dite « des maths modernes ». Les connaissances requises sont accessibles en classe de troisième (à l’exception du dernier chapitre, sur l’écart inversif). Certaines sont rappelées (évoquées) dans le chapitre RÉSU. La lectrice et le lecteur consta- teront qu’il n’y a pas de « cours » : tout commence et tout finit par des questions, tout au plus introduites par des définitions. Plus loin, il y a les réponses, en général assez complètes, mais qui contiennent souvent d’autres questions destinées à soutenir la vi-