Petit traité d'intégration

Jean-Yves Briend

Description

Ce Petit traité d’intégration développe une approche originale de l’intégrale. Cette approche, que l’on pourrait qualifier de globale, est due aux deux mathématiciens Jaroslaw Kurzweil et Ralph Henstock.

L’enseignement de l’intégration se fait d’ordinaire en deux temps. On débute en proposant des approximations de l’aire située sous le graphe de la fonction sous la forme de sommes de Riemann, ce qui est bien adapté au calcul différentiel et intégral portant sur des fonctions régulières. On présente ensuite l’intégrale de Lebesgue en lien avec la théorie de la mesure.

L’approche de Kurzweil et Henstock est proche de celle de Riemann, à cela près que le pas des subdivisions de l’intervalle pour le calcul de l’aire peut ne pas être constant. L’intérêt de cette méthode est de contenir la théorie de Lebesgue et d’être optimale pour le calcul différentiel.

Ce livre concerne au premier chef les étudiants de mathématiques de tous les cycles (licence, master, préparation aux concours de l’enseignement…). Il intéressera également les enseignants de mathématiques ou de physique et, plus généralement, les ingénieurs et scientifiques qui font usage de la théorie de l’intégration.

Sujets

• Sciences & Techniques
• Mathématiques
• Sciences formelles
• Mathématiques générales
• Mathématiques générales
• Techniques
• Automatisation et Contrôle
• Contrôle des processus
• Automatisation
• Automate
• Mathématiques fondamentales
• Mathématiques pures
• Ingénierie
• Mathematics
• Ralph Henstock
• Sciences et techniques
• Sciences appliquées
• Sciences appliquées
• Ingénierie
• Sciences appliquées

Informations

• Publié par: EDP Sciences
• Date de parution: 16 octobre 2014
• Nombre de lectures: 7
• EAN13: 9782759816910
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

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CO L L E C T I O NGR E N O B L ESC I E N C E S
DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

PETIT TRAITÉ
D’INTÉGRATION

RIEMANN, LEBESGUE et
KURZWEIL-HENSTOCK
QJean-Yves BRIEND

Petit traité d’intégration
Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock

Grenoble Sciences
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des projets clairement définis sans contrainte de mode ou de programme,
des qualités scientifiques et pédagogiques certifiées par le mode de sélection
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ISBN 978 2 7598 1241 7
c
EDP Sciences 2014

Petit traité d’intégration
Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock

Jean-Yves Briend

17, avenue du Hoggar
Parc d’Activité de Courtabœuf - BP 112
91944 Les Ulis Cedex A - France

Petit traité d’intégration
Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
Cet ouvrage, labellisé par Grenoble Sciences, est un des titres du secteur
Mathématiques de la collection Grenoble Sciences d’EDP Sciences, qui regroupe des projets
originaux et de qualité. Cette collection est dirigée par Jean Bornarel, Professeur
émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1.
Comité de lecture :
◮
Claude Bardos, Professeur émérite à l’Université Paris-Diderot, Paris 7
Elie Belorizky, Professeur émérite à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
◮
Eric Charpentier, Maître de conférences à l’Université de Bordeaux
◮
Jean-Pierre Demailly, Professeur à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
◮
Bruno Demange, Maître de conférences à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
◮
Denise Grenier, Maître de conférences à l’Université Joseph Fourier, Grenoble 1
◮

Cet ouvrage a été suivi par Stéphanie Trine. Mise en page :ARCHIT X
E
Bordage et Anne-Laure Passavant; illustration de couverture : Alice
une figure de Emes2k/de.wikipedia.

; figures
Giraud,

: Sylvie
d’après

Autres ouvrages labellisés sur des thèmes proches (chez le même éditeur) :
Analyse numérique et équations différentielles (J.-P. Demailly)•Exercices corrigés
d’analyse avec rappels de cours. Tomes I et II (D. Alibert)•Nombres et algèbre
(J.-Y. Mérindol)•Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien
(C. Gignoux & B. Silvestre-Brac)•Problèmes corrigés de mécanique et résumés de
cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac)•Méthodes
numériques appliquées pour le scientifique et l’ingénieur (J.-P. Grivet)•Introduction aux
variétés différentielles (J. Lafontaine)•Description de la symétrie. Des groupes de
symétrie aux structures fractales (J. Sivardière)•Symétrie et propriétés physiques.
Des principes de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière)•Approximation
hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales (M. Attéia & J. Gaches)•Outils
mathématiques à l’usage des scientifiques et ingénieurs (E. Belorizky)•Analyse statistique des
données expérimentales (K. Protassov)•Mathématiques pour l’étudiant scientifique.
Tomes I et II (P.-J. Haug)•Mathématiques pour les sciences de la Vie, de la Nature et
de la Santé (J.-P. Bertrandias & F. Bertrandias)•Introduction à la mécanique
statistique (E. Belorizky & W. Gorecki)•Mécanique statistique. Exercices et problèmes
corrigés (E. Belorizky & W. Gorecki)•Magnétisme : I Fondements, II Matériaux (sous
la direction d’E. du Trémolet de Lacheisserie)•La mécanique quantique. Problèmes
résolus. Tomes I et II (V.M. Galitski, B.M. Karnakov & V.I. Kogan)•Éléments
de Biologie à l’usage d’autres disciplines. De la structure aux fonctions (P. Tracqui
& J. Demongeot)•Minimum Competence in Scientific English (S. Blattes, V. Jans
& J. Upjohn)
et d’autres titres sur le site internet
https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr

Avant-propos

Ce petit livre est né d’une discussion avec Jean-Pierre Demailly au début des
années 2000. Chargé d’enseigner l’intégration à des étudiants de deuxième année de
ce qui s’appelait alors le DEUG, il m’a fourni l’idée de l’enseigner de manière non
conventionnelle en construisant l’intégrale d’une fonction réelle d’après la méthode
de Kurzweil et Henstock. Après une première année quelque peu tâtonnante (puis
une seconde émaillée d’un mouvement social fort, celui contre le contrat première
embauche) ce cours m’a procuré beaucoup de plaisir ainsi, je crois, qu’aux étudiants
qui l’ont suivi. Il est en effet passionnant de pouvoir construire l’intégrale de Lebesgue
(et même un peu mieux) en n’utilisant que des méthodes et outils simples de l’analyse
réelle en une variable.

Ce texte n’a rien d’original et je me suis abreuvé à de nombreuses sources, que j’ai
parfois allègrement pillées. Je pourrais citer le texte écrit par Jean-Pierre Demailly
soi-même, beaucoup plus rigoureux et complet, mais plus difficile d’accès, ou encore les
livres de Robert Bartle ou de Jean Mahwin, ce dernier ouvrage étant malheureusement
indisponible depuis longtemps.

Le style du livre pourra heurter certains lecteurs, en particulier les collègues
mathématiciens. Je l’ai voulu relativement informel, et ai pris le parti de ne démontrer certains
résultats que partiellement (surtout en ce qui concerne les fonctions de plusieurs
variables) voire parfois d’en admettre la démonstration. J’ai volontairement limité
le chapitre sur les méthodes de calcul explicite d’intégrales, dont l’intérêt me semble
faible si l’on ne se lance pas dans des développements poussés, sur le calcul formel
par exemple.

J’ai par contre essayé de motiver le plus possible les théorèmes et surtout les
définitions, nos étudiants ne se contentant plus d’ingurgiter sans barguigner les montagnes
de victuailles mathématiques dont nous aimerions les gaver. Et c’est tant mieux!

Mes remerciements vont à Jean-Pierre Demailly, à Bernard Coupet qui m’a encouragé
à enseigner ainsi l’intégrale, et à tous les collègues qui m’ont, parfois à l’insu de leur
plein gré, aidé à rédiger ce texte. Je remercie tout particulièrement Peter Haïssinski,
Pierre Liardet, Jean-Paul Mohsen, Christophe Pittet, Stéphane Rigat et Hamish Short
pour leur relecture de versions préliminaires du manuscrit.

VI

Petit traité d’intégration

Je me dois enfin de remercier les lecteurs désignés par les éditions Grenoble Sciences
qui ont fait un formidable travail permettant de grandement améliorer le texte, ainsi
que toute l’équipe de cette maison d’édition pour la qualité de son écoute au service
des auteurs.
Et un grand merci à Léon la Migraine, du CDO.

Jean-Yves Briend

Introduction

Table

des

matières

Partie I – Intégration des fonctions d’une variable réelle

Chapitre 1 – Quelques rappels d’analyse
1.1. Nombres réels .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Complétude deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Topologie deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.4. Continuité et continuité uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.5. Dérivabilité et inégalité des accroissements finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Modes de convergence des suites et séries de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Appendice : les nombres réels d’Eudoxe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 2 – Des aires aux primitives, etvice versa
2.1. Intégrale et aire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Intégrale et primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .